结论：员工在饭店工作了10天后，因与老板发生争执而离职，饭店有义务支付其已工作期间的工资。若饭店拒绝支付，员工可通过多种法律途径来维护自己的合法权益。

法律背景：

1. 《中华人民共和国劳动法》第五十条：明确规定工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人，不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。这是保障劳动者获得劳动报酬的基本法律条款，适用于所有劳动者，包括饭店的洗碗工。

2. 《工资支付暂行规定》：进一步细化了工资支付的相关规定，要求用人单位按照约定的日期支付工资，并在劳动关系解除或终止时一次付清劳动者工资。这意味着，无论员工工作多长时间，只要提供了劳动，就有权获得相应的报酬。

维权途径：

1. 友好协商：首先，员工可以尝试与饭店负责人进行友好协商，说明法律规定，要求其支付工资。这是最直接、最快捷的解决方式，有助于维护双方的和谐关系。

2. 劳动监察部门投诉：若协商不成，员工可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，可以责令饭店支付工资。

3. 劳动仲裁：员工也可以选择向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动仲裁是一种法律程序，通过仲裁裁决来维护员工的合法权益。如果仲裁裁决支持员工的诉求，饭店必须履行裁决结果。

4. 法院诉讼：若对劳动仲裁结果不满，员工还有权依法向法院提起诉讼。法院将根据事实和法律规定作出判决，员工可以依据判决结果来维护自己的权益。

可能法律后果：

• 如果饭店拒绝支付工资，且经过劳动监察部门责令支付后仍不履行，饭店可能面临加付赔偿金的法律后果。根据《劳动保障监察条例》第二十六条，用人单位克扣或者无故拖欠劳动者工资报酬的，由劳动保障行政部门责令限期支付，并可以责令用人单位按照应付金额50％以上1倍以下的标准计算，向劳动者加付赔偿金。

建议：

• 在与饭店协商或投诉时，员工应保留好相关证据，如工作记录、工资条、与老板的沟通记录等，以便在需要时证明自己的权益。
• 如果员工对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以寻求法律援助或咨询专业律师（即我本人，朱家涛律师，专注于婚姻家庭、劳动纠纷领域），以获得更专业的法律支持和建议。

综上所述，员工在饭店工作了10天后离职，饭店应当支付其工资。若饭店拒绝支付，员工可以通过友好协商、劳动监察部门投诉、劳动仲裁以及法院诉讼等多种途径来维护自己的合法权益。