劳动教养制度已经于2013年12月28日被全国人民代表大会常务委员会依法废止，因此当前不存在劳动教养的执行单位这一问题。不过，为了更全面地解答您的疑问，并帮助您理解劳动教养制度的历史背景及其废止后的相关情况，我将从以下几个方面进行详细阐述：

1. 劳动教养制度的历史沿革：

   • 劳动教养制度在中国曾长期作为对特定违法犯罪人员的矫治手段而存在。它主要针对的是有违法或轻微犯罪行为、屡教不改，但又不需要追究刑事责任的人员。
   • 然而，随着法治建设的不断推进和人权保障要求的日益提高，劳动教养制度在实践中逐渐暴露出一些与法治原则不相适应的问题。因此，全国人民代表大会常务委员会于2013年12月28日依法废止了该制度。

2. 劳动教养制度存在期间的执行情况（虽已废止，但了解历史有助于理解现状）：

   • 在劳动教养制度存在期间，其领导和管理工作由省、自治区、直辖市和大中城市人民政府成立的劳动教养管理委员会负责。这些委员会负责审查批准需要劳动教养的人员。
   • 公安机关在劳动教养管理委员会的委托下，具体承担审查批准需要劳动教养人员的任务。
   • 司法行政部门则负责领导和管理劳教场所，包括劳教人员的收容、教育、改造等执行工作。具体来说，省、自治区、直辖市的司法厅（局）设立劳动教养管理局（处），地、市司法局设立劳动教养管理处，以具体负责劳动教养工作的管理和组织实施。

3. 劳动教养制度废止后的替代措施：

   • 随着劳动教养制度的废止，我国对于轻微违法的行为人采取了新的处罚措施，即社区矫正等非监禁性的处罚方式。
   • 社区矫正旨在通过社区的力量，对违法者进行教育、监督和帮助，使其能够回归社会并遵守法律法规。这种方式更加人性化，也符合现代法治社会的理念。

4. 法律建议与咨询：

   • 如果您对劳动教养制度的历史、废止原因或现行社区矫正等相关法律制度有进一步的疑问，或者您面临与劳动纠纷相关的法律问题，都可以直接向我咨询。
   • 作为专注于劳动纠纷领域的专业律师，我将根据您的具体情况，提供全面、准确且具有启发性的法律建议和解答。

综上所述，劳动教养制度已经成为历史，我国现行的法律制度对于轻微违法的行为人采取了更为人性化、非监禁性的处罚措施。如果您有任何与劳动纠纷相关的法律问题或疑虑，请随时向我咨询，我将竭诚为您提供帮助。