结论：在您描述的情况下，是否还可以起诉对方，取决于多个因素，包括双方私下解决的协议内容、是否已经履行完毕、以及是否存在可撤销或无效的情形等。以下是对此问题的详细分析：

1. 私下解决协议的效力：

   • 如果您与对方已经就工伤赔偿事宜达成了私下解决协议，并且该协议是双方真实意思的表示，没有违反法律、行政法规的强制性规定，也没有损害国家、集体或第三人的利益，那么该协议通常是具有法律效力的。
   • 在这种情况下，如果您已经接受了对方支付的4万元赔偿，并且协议已经履行完毕，那么您再起诉对方可能会面临一定的法律障碍，因为这可能被视为对已经履行完毕的协议的违反。

2. 可撤销或无效的情形：

   • 如果私下解决的协议存在可撤销或无效的情形，如对方以欺诈、胁迫的手段使您在违背真实意思的情况下订立协议，或者协议内容显失公平等，那么您有权向法院提起诉讼，请求撤销或确认协议无效，并要求对方按照法定标准进行赔偿。
   • 此外，如果私下解决的协议没有涵盖您应得的全部赔偿项目，或者赔偿金额明显低于法定标准，您也可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。

3. 起诉的可行性：

   • 在决定是否起诉之前，您需要仔细审查私下解决的协议内容，以及对方是否已经按照协议履行了赔偿义务。
   • 如果您认为协议存在可撤销或无效的情形，或者对方没有按照协议履行赔偿义务，那么您可以考虑向法院提起诉讼。在起诉时，您需要提供充分的证据来支持自己的主张，如协议文本、支付凭证、医疗证明等。

4. 法律建议：

   • 在决定是否起诉之前，我建议您先咨询专业的劳动法律师，对私下解决的协议进行法律评估，以确定是否存在可撤销或无效的情形。
   • 如果律师认为协议存在问题，或者您认为自己的权益没有得到充分保障，那么您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。在起诉过程中，您需要积极配合律师的工作，提供必要的证据和资料，以便律师能够更好地为您争取权益。

行动建议：

• 首先，回顾并整理与对方私下解决工伤赔偿事宜的所有相关文件和证据，包括协议文本、支付凭证、医疗证明等。
• 其次，咨询专业的劳动法律师，对私下解决的协议进行法律评估，并了解起诉的可行性和可能的结果。
• 最后，根据律师的建议和您的实际情况，决定是否向法院提起诉讼，并积极准备诉讼所需的证据和资料。

如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。