可以申请赔偿。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额赔偿
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，若公司未与您签订书面劳动合同，您有权主张自入职第二个月起至离职前（最长不超过11个月）的双倍工资差额。例如，若您月工资为5000元，公司需额外支付5000元/月×11个月=55000元。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金
   若公司无正当理由辞退您（如未提前30日书面通知、未支付经济补偿金，或辞退理由不符合《劳动合同法》第三十九条、第四十条规定的合法情形），则构成违法解除。根据《劳动合同法》第八十七条，您有权主张赔偿金，标准为经济补偿金的2倍。经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年的按1年计算，不满6个月的支付半个月工资。例如，若您工作1年3个月，月工资5000元，则赔偿金为5000元×1.5个月×2=15000元。

3. 社保与工资的合法性不影响赔偿主张
   公司已为您缴纳社保并发放工资，仅说明其履行了部分法定义务，但未签劳动合同和违法解除仍构成独立违法行为，您可同时主张上述赔偿。社保缴纳记录和工资流水可作为证明劳动关系存在的关键证据，有助于您维权。

行动建议：

1. 收集证据：保留工资条、银行流水、社保记录、工作证、考勤记录等证明劳动关系的材料；
   
2. 协商解决：先与公司沟通，明确要求支付未签合同的双倍工资差额及违法解除赔偿金；
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可在离职后1年内向当地劳动仲裁委员会提起仲裁，主张上述权益。
   

如有进一步疑问或需协助计算赔偿金额，可直接向我咨询。