您完全可以要求公司进行赔偿，且可主张的赔偿项目包括未签书面劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金，同时可要求公司补缴社保。具体分析如下：

1. 未签书面劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。例如，若您在公司工作6个月未签合同，可主张5个月工资作为赔偿（第1个月为宽限期，不计入双倍工资）。若工作满1年仍未签合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，但您仍可主张11个月的双倍工资差额。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金
   根据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，若公司无正当理由辞退您（如未提前30日通知、无合法解除事由等），属于违法解除，需支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿金的2倍，即按您在公司的工作年限，每满1年支付2个月工资（例如工作3年，赔偿6个月工资）。若公司未提前30日通知，还需额外支付1个月工资作为代通知金（但违法解除时，赔偿金已涵盖该部分，无需重复主张）。

3. 补缴社保的请求
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位未依法为劳动者缴纳社保的，劳动者可向当地社保部门投诉，要求公司补缴。若因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗报销、失业金等），可要求公司赔偿实际损失。

操作建议：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及工作年限的材料；
   
2. 协商解决：先与公司沟通，明确要求支付双倍工资、赔偿金并补缴社保；
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可在1年内向劳动仲裁委员会申请仲裁（需提交仲裁申请书、证据材料）；
   
4. 投诉社保：同时向当地社保局投诉公司未缴社保的问题。
   

若您需要进一步计算赔偿金额或准备仲裁材料，可随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细指导。