结论：公司能否开除因下班回家受伤三个月不上班的员工，需分情况讨论，不能一概而论。具体分析如下：

1. 若受伤属于工伤范畴
   根据《工伤保险条例》及《劳动合同法》相关规定，员工因工受伤期间（包括医疗期、停工留薪期）享有法定保护，公司不得以“不能胜任工作”“医疗期满后不能从事原工作”等理由解除劳动合同。

   • 停工留薪期：一般不超过12个月，具体由劳动能力鉴定委员会确认。在此期间，公司需按原工资福利按月支付，且不得解除合同。
     
   • 医疗期满后：若员工经鉴定丧失劳动能力，公司需根据伤残等级支付一次性伤残补助金、就业补助金等，并可能需安排适当工作或支付经济补偿，而非直接开除。
     例外情形：若员工存在严重违反公司规章制度（如虚假受伤、骗取工伤待遇）等法定过错，公司可依法解除合同，但需承担举证责任。

2. 若受伤不属于工伤（如非工作时间、非工作原因受伤）
   此时需区分“医疗期”与“病假”：

   • 医疗期：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因病或非因工负伤享有3-24个月的医疗期（具体根据工龄和社保缴费年限确定）。医疗期内，公司不得解除合同，但需支付病假工资（不低于当地最低工资的80%）。
     
   • 医疗期满后：若员工仍无法从事原工作或公司安排的其他工作，公司可提前30日书面通知或支付1个月工资后解除合同，但需支付经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
     关键点：公司需证明已为员工调整岗位或提供培训，且员工仍无法胜任，否则可能构成违法解除。

3. 若员工未履行请假手续或存在其他过错
   若员工受伤后未按规定提交病假证明、未履行请假流程，或存在旷工、欺骗等行为，公司可依据规章制度解除合同，但需确保：

   • 规章制度已通过民主程序制定并公示；
     
   • 解除程序合法（如通知工会、听取员工申辩等）；
     
   • 解除理由与规章制度条款完全匹配。

建议行动：

• 员工：保留受伤证明、医疗记录、请假手续等证据，若公司违法解除，可申请劳动仲裁要求继续履行合同或索赔赔偿金（2倍经济补偿）。
  
• 公司：核实受伤性质、医疗期时长，确保解除依据充分、程序合法，避免因违法解除支付高额赔偿。
  

如有具体细节（如受伤原因、公司规章制度内容等），可进一步向我咨询，我会结合实际情况为您详细分析。