结论前置：帮私人开车没签劳动合同，在符合一定条件下是可以获得赔偿的。下面我将从不同角度为您详细分析。
一、未签劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于为私人开车的情况，即如果雇主（私人）未与您签订书面劳动合同，且用工时间超过一个月，您有权要求雇主支付双倍工资作为赔偿。
二、赔偿的具体条件和计算方式
赔偿条件：
- 用工时间超过一个月未签订书面劳动合同。
- 您能够证明与雇主之间存在事实劳动关系（如通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据）。
赔偿计算方式：
- 双倍工资的计算基数通常是您实际获得的工资，包括基本工资、奖金、津贴等。
- 赔偿期限从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或者至劳动关系终止之日止，但最长不超过十一个月。
计算公式：赔偿金额 = 月工资 × 未签劳动合同的月数（最长不超过11个月）
示例：假设您的月工资为5000元，且未与雇主签订书面劳动合同的时间为6个月，则您有权获得的赔偿金额为5000元 × 6个月 = 30000元。
三、其他可能的赔偿或权益
- 社会保险：如果雇主未为您缴纳社会保险，您还有权要求雇主补缴社会保险费用。
- 经济补偿金：如果因雇主未签劳动合同导致劳动关系解除，且符合《劳动合同法》规定的支付经济补偿金的情形，您还有权获得经济补偿金。
- 加班费、未休年假工资等：如果存在加班或未休年假的情况，您还有权要求雇主支付相应的加班费或未休年假工资。
四、实际操作建议
- 收集证据：首先，您需要收集能够证明与雇主之间存在事实劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 与雇主协商：在掌握一定证据后，您可以尝试与雇主进行协商，要求其支付双倍工资、补缴社会保险等。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满，您还可以向法院提起诉讼。
最后，未签劳动合同并不意味着您的权益无法得到保障。在符合一定条件下，您完全有权获得相应的赔偿。如果您在处理此类纠纷时遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。