结论前置：私企未与劳动者签订劳动合同，劳动者有权获得双倍工资赔偿，并可能享有视为已订立无固定期限劳动合同的保护，同时，在解除劳动关系时，劳动者还有权获得经济补偿。若公司未按规定缴纳社保或违法辞退员工，劳动者还有权要求补缴社保和支付二倍经济补偿金。以下是对这些结论的详细解释：

1. 双倍工资赔偿

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保障劳动者的合法权益，促使用人单位及时与劳动者签订书面劳动合同。
   • 计算方式：双倍工资的计算从用工满一个月的次日起开始，直至双方签订书面劳动合同或满一年前的最后一日为止。例如，若劳动者于2024年1月1日入职某私企，且该企业一直未与其签订劳动合同，则从2024年2月1日起至2024年12月31日（或实际签订合同前一日），企业需支付劳动者双倍工资。双倍工资的计算基数通常是劳动者正常出勤的月工资，包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。

2. 视为已订立无固定期限劳动合同

   • 情形：根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同为劳动者提供了更稳定的劳动关系保障，一旦被视为订立此类合同，用人单位若无法定理由，不能随意解除劳动合同，否则需支付赔偿金。
   • 后续影响：被视为订立无固定期限劳动合同后，用人单位仍需及时与劳动者补订书面劳动合同，以明确双方的权利义务关系。同时，从满一年当天起至实际签订书面劳动合同之日止，用人单位仍需按月支付双倍工资作为赔偿（但此部分双倍工资与前述因未签合同而支付的双倍工资在时间上可能存在重叠，实际执行时需根据具体情况判断）。

3. 社保补缴与违法辞退赔偿

   • 社保补缴：若私企未按规定为员工缴纳社保，员工有权要求公司补缴。这是劳动者的基本权益之一，确保其在医疗、养老等方面的社会保障。
   • 违法辞退赔偿：若公司违法辞退员工（如辞退理由不合法、未按照法定程序辞退等），员工有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于员工的工作年限和离职前的工资水平。

4. 解除劳动关系的经济补偿

   • 情形：若因公司未签劳动合同，劳动者以此为由解除劳动关系，用人单位需向劳动者支付经济补偿。
   • 计算标准：根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

5. 维权途径

   • 协商：劳动者首先可与公司进行协商，要求支付未签合同的双倍工资等赔偿。
   • 劳动监察投诉：若协商不成，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门有权调查并责令用人单位改正违法行为，支付相应赔偿。
   • 劳动仲裁：劳动者还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，仲裁委员会会根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。申请需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出。
   • 诉讼：若对仲裁结果不满意，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。

建议：在主张权益时，劳动者应妥善保留相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、社保缴纳记录等，以证明劳动关系和用人单位的违法行为。这些证据在协商、投诉、仲裁和诉讼过程中都至关重要。若您面临此类问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议。