关于第一次劳动合同到期公司是否可以不补偿解除劳动关系的问题，结论如下：

1. 若公司不续签且未维持或提高原劳动合同条件：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，因劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。因此，公司需要支付经济补偿。

   • 经济补偿标准：按照劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 若公司维持或提高原劳动合同条件，但劳动者不愿意续签：在此情况下，公司无需支付经济补偿。劳动者需提前书面通知公司不愿续签的决定，并按规定办理离职手续，核对各项费用结算情况。

3. 若公司降低原劳动合同条件，导致劳动者不愿意续签：这不符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项中“用人单位维持或者提高劳动合同约定条件”这一前提，因此公司需要支付经济补偿。劳动者可以收集公司降低劳动条件的证据，与公司协商要求按原条件续签或支付经济补偿，如协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

4. 若公司既不续签劳动合同，也不解除劳动关系：这相当于公司未与劳动者订立书面劳动合同的情况，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。劳动者可以要求公司支付双倍工资，并解除劳动关系。劳动者应继续正常工作并保留相关证据，与公司沟通协商要求尽快做出决定，如公司仍不做出决定，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

举例说明：

• 假设小张在某公司工作了2年零8个月，劳动合同即将到期。如果公司决定不续签，且小张过去12个月的平均工资是6000元，那么公司应当支付给小张的经济补偿为3个月的工资，即18000元。
• 如果公司在劳动合同到期后提出以月薪6500元（高于原合同的6000元）续签，但小张拒绝，这种情况下公司无需支付经济补偿。
• 相反，如果公司以月薪5500元（低于原合同的6000元）提出续签，小张不同意，那么公司需要按照经济补偿标准向小张支付补偿。

建议：

在遇到劳动合同到期公司是否补偿解除劳动关系的问题时，劳动者应首先与公司进行协商，明确公司的意图和劳动合同条件的变化情况。如果协商无果，劳动者可以依据相关法律法规维护自己的合法权益，必要时可寻求法律帮助或提起劳动仲裁。在整个过程中，劳动者应注意保存与公司之间的所有书面沟通记录、劳动合同、工资单等相关证据，以便在维权时提供有力支持。

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