结论：在此情况下，您公司是否需要承担责任，主要取决于您公司与承包私人之间的法律关系、该员工与您公司或承包私人之间的劳动关系，以及员工发病是否与工作有关等因素。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系与责任主体
承包关系：
- 若您公司已将餐饮档口合法承包给私人，且承包合同中明确约定了双方的权利义务，包括员工管理、工伤处理等事项，则一般情况下，员工的管理和工伤责任应由承包私人承担。
- 但需注意，若承包私人不具备用工主体资格（如未办理工商登记、未取得相关资质等），则根据相关法律法规，您公司可能需要承担连带赔偿责任。
劳动关系：
- 若员工与承包私人建立了劳动关系，并签订了劳动合同，则员工在工作中发病抢救无效死亡，应视为工伤，由承包私人承担工伤赔偿责任。
- 若员工实际上与您公司存在劳动关系（如未与承包私人签订劳动合同，但受您公司管理、由您公司发放工资等），则您公司可能需要承担工伤赔偿责任。
二、员工发病与工作的关系
- 工作原因：
- 若员工发病是由于工作原因导致的（如长时间工作、工作强度过大、工作环境恶劣等），则更有可能被认定为工伤，您公司或承包私人需承担相应的赔偿责任。
- 非工作原因：
- 若员工发病与工作无关（如自身疾病突发等），则一般不被认定为工伤。但在此情况下，若您公司或承包私人未尽到合理的救助义务（如未及时送医、未提供必要的急救措施等），也可能需要承担一定的民事赔偿责任。
三、法律建议
审查承包合同：
- 仔细审查您公司与承包私人之间的承包合同，确保合同中明确约定了双方的权利义务，特别是关于员工管理和工伤处理的事项。
确认劳动关系：
- 确认员工是与您公司还是与承包私人建立了劳动关系，并收集相关证据（如劳动合同、工资发放记录、工作证等）以证明劳动关系。
及时救助与报告：
- 在员工发病后，及时采取救助措施（如送医、提供急救等），并向相关部门报告（如劳动保障部门、安全生产监督管理部门等）。
咨询专业律师：
- 鉴于此类案件涉及复杂的法律关系和事实认定，建议您及时咨询专业律师，以便更准确地评估责任风险并采取相应的法律措施。虽然我不能直接给出联系方式，但您可以直接向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。
四、可能的法律后果
- 若被认定为工伤：
- 您公司或承包私人需承担工伤赔偿责任，包括医疗费、丧葬费、供养亲属抚恤金、一次性工亡补助金等。
- 若未尽到救助义务：
- 您公司或承包私人可能需承担一定的民事赔偿责任，具体数额需根据实际情况和法律规定进行判定。
总结：在此情况下，您公司是否需要承担责任取决于多种因素。为了降低风险并保障自身权益，建议您及时审查承包合同、确认劳动关系、采取救助措施，并咨询专业律师以获取更详细的法律建议。