结论：针对您提出的问题，单位在第一次解除劳动合同时未支付赔偿金，随后又与职工签订了新合同，若再次解除合同，赔偿金的计算及支付情况需根据解除合同的原因及法律规定来确定。以下是对此问题的详细分析：

一、第一次解除合同未支付赔偿金的情况

1. 法律义务：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，若符合支付经济补偿金的条件（如协商一致解除、用人单位提出解除且非因劳动者过错等），则应当向劳动者支付经济补偿金。若单位未支付，则可能构成违法。

2. 后续影响：第一次未支付赔偿金并不直接影响后续合同的签订或解除，但劳动者有权通过劳动仲裁或诉讼等途径要求单位支付。若劳动者未在此前主张权利，这并不意味着单位可以免除其支付赔偿金的义务。

二、再次解除合同的情况

1. 合法解除：

   • 经济补偿金：若单位再次解除合同是合法的（如劳动者严重违反规章制度、不能胜任工作等），且符合支付经济补偿金的条件，则单位应当按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 计算公式：经济补偿金 = 劳动者在本单位工作的年限 × 劳动者月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。

2. 违法解除：

   • 赔偿金：若单位再次解除合同是违法的（如无正当理由解除、未提前通知等），则劳动者有权要求单位支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿金的两倍。
   • 计算公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿金 = 2 × (劳动者在本单位工作的年限 × 劳动者月工资)。

三、特殊情况考虑

1. 新合同签订后的影响：新合同的签订并不改变单位在第一次解除合同时应承担的法律义务。若第一次解除合同违法且未支付赔偿金，劳动者仍有权主张。

2. 劳动者主张权利的时效：根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内主张权利。

四、建议

1. 收集证据：劳动者应收集与解除合同相关的证据，如解除合同通知书、工资单、工作证明等，以证明单位的行为及自己的损失。

2. 咨询专业律师：由于劳动法律关系的复杂性，建议劳动者在面临此类问题时咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。

3. 及时主张权利：劳动者应在知道或应当知道权利被侵害之日起及时主张权利，避免超过仲裁时效期间而丧失胜诉权。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。