结论前置：劳动合同到期后未续签，根据具体情况不同，用人单位和劳动者各自有不同的法律义务和责任。用人单位需及时续签或终止合同并支付相应补偿，劳动者则有权要求二倍工资及经济补偿，并在特定情况下享有优先续约权。

用人单位角度

1. 继续用工超过一个月不满一年

   • 法律规定：依据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自原劳动合同到期后的次日起，若超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 应对措施：用人单位应立即与劳动者协商补订书面劳动合同，并支付自原合同到期满一个月的次日起至补订合同前一日的二倍工资，以避免法律风险。例如，若原合同到期日为2023年1月1日，用人单位在2023年2月1日至2023年12月31日期间未与劳动者续签合同，则需支付这11个月的二倍工资差额（扣除已支付的正常工资）。

2. 继续用工满一年

   • 法律规定：根据《劳动合同法》第十四条第三款，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。
   • 应对措施：用人单位需立即与劳动者补订书面无固定期限劳动合同，并从用工满一个月的次日至满一年的前一日向劳动者支付二倍工资（尽管此规定在实操中对于满一年后是否继续支付双倍工资存在争议，但补订合同是必要措施）。例如，若原合同到期日为2023年1月1日，用人单位在2024年1月1日前仍未与劳动者续签合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，且需支付2023年2月1日至2023年12月31日的二倍工资差额。

3. 终止劳动关系

   • 法律规定：如用人单位决定不续签劳动合同，应依据《劳动合同法》第四十四条第一项及第四十六条第五项，向劳动者支付经济补偿，标准按工作年限每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资。
   • 应对措施：用人单位需提前通知劳动者，出具终止劳动合同证明，并在十五日内办理档案和社会保险关系转移手续。例如，若劳动者在用人单位工作3年6个月，则用人单位需支付4个月工资作为经济补偿。

劳动者角度

1. 用人单位继续用工

   • 权利主张：劳动者有权要求用人单位支付未续签劳动合同期间的二倍工资，并可通过协商、投诉或申请劳动仲裁来维护权益。
   • 注意事项：劳动者应收集并保留与工作相关的证据，如工资记录、工作证等，以证明劳动关系及存续时间。例如，劳动者可以保存银行流水、考勤记录、工作邮件等作为证据。

2. 用人单位终止劳动关系

   • 经济补偿：若用人单位在合同到期后终止劳动关系，劳动者有权获得经济补偿。如用人单位拒绝支付，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 优先续约权：在特定情形下（如连续工作满十年、初次实行劳动合同制度等），劳动者提出续订时，除劳动者要求固定期限外，应订立无固定期限劳动合同。若用人单位违反此规定，需自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍工资。例如，若劳动者在用人单位连续工作满十年，且提出续订无固定期限劳动合同，而用人单位拒绝并终止劳动关系，则劳动者有权要求用人单位支付经济补偿，并可能主张自应当订立无固定期限劳动合同之日起的二倍工资。

3. 特殊约定：若劳动者在符合订立无固定期限劳动合同条件下仍愿意订立固定期限劳动合同，用人单位应予同意，但最长不超过五年。这一约定旨在保护劳动者的权益，同时给予用人单位一定的灵活性。

总结：劳动合同到期后未续签的情况复杂多变，涉及的法律条款众多。无论是用人单位还是劳动者，都应充分了解自身权利和义务，及时采取措施，避免不必要的法律纠纷。如遇具体问题难以解决，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更具体的法律建议和帮助。