结论前置：私人老板不签劳动协议，劳动者确实有权要求赔偿，具体为自用工之日起超过一个月不满一年未签合同期间的两倍工资。以下是详细分析：

一、法律依据与赔偿情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定：

1. 第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人老板在劳动者入职一个月后仍未签订劳动合同，劳动者有权要求从第二个月起至满一年前的这段时间内，每月获得双倍工资。

2. 第十四条：用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。虽然此时不再主张双倍工资赔偿，但劳动者享有更稳定的劳动关系保障，且若因未签合同导致劳动者被迫离职，仍可主张经济补偿金。

二、赔偿的计算方式与示例

• 双倍工资计算基数：通常为劳动者当月应得工资，包括基本工资、奖金、津贴等，但不包括支付周期超过一个月的劳动报酬（如季度奖、年终奖）和未确定支付周期的劳动报酬（如一次性奖金）。

• 示例：假设劳动者于2023年1月1日入职，月工资为5000元，至2023年12月31日仍未签合同。那么，劳动者有权要求从2023年2月1日起至2023年12月31日止，每月获得双倍工资，即共计11个月的双倍工资，总额为110,000元（5000元/月 × 11月 × 2 - 已支付的55,000元 = 55,000元差额）。但实际操作中，仲裁或法院会支持的是差额部分，即55,000元。

三、维权途径与注意事项

1. 收集证据：

   • 劳动者应收集能证明与私人老板存在劳动关系的证据，包括但不限于工资支付凭证（银行流水）、工作证、考勤记录、同事证言、工作聊天记录等。这些证据对于成功主张权益至关重要。

2. 维权方式：

   • 向劳动保障监察机构投诉举报：请求介入调查处理，劳动保障监察机构有权对用人单位的违法行为进行查处。
   • 申请劳动仲裁：在劳动争议发生之日起一年内，向当地劳动争议仲裁委员会提出书面申请。仲裁是解决劳动争议的前置程序，且仲裁裁决具有法律效力。
   • 诉讼途径：对仲裁结果不服的，可在收到裁决书后15日内向法院提起诉讼。若仲裁裁决生效后用人单位不执行，劳动者还可申请法院强制执行。

3. 仲裁时效：

   • 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者需在时效期内及时提出仲裁申请，以免丧失维权机会。

四、特殊情况与建议

• 入职满一年仍未签合同：此时视为已订立无固定期限劳动合同，劳动者虽不能主张双倍工资赔偿，但可要求用人单位补签无固定期限劳动合同，并享有更稳定的劳动关系保障。

• 未缴纳社保：若私人老板未为劳动者缴纳社保，劳动者还可要求补缴社保并主张因此造成的损失（如医疗费无法报销等）。

• 专业建议：在处理此类纠纷时，劳动者可能会遇到诸多困难和疑问。因此，建议及时向我咨询，以便更好地了解自身权益，制定合适的维权策略，并确保最终能够成功维护自己的合法权益。

综上所述，私人老板不签劳动协议，劳动者确实有权要求赔偿。劳动者应依法维权，通过收集证据、选择适当的维权途径，并在时效期内及时行动，以维护自己的合法权益并获得应有的赔偿。