若私人雇主未与员工签署劳动合同，并不必然导致需要赔偿第二个月双倍工资。具体分析如下：

1. 法律规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一条款明确指出了用人单位在未签劳动合同情况下的法律责任。

2. 具体情况分析：

   • 用人单位责任：若用人单位自用工之日起超过一个月仍未与员工签署劳动合同，且不存在劳动者拒绝签署等特殊情况，那么用人单位确实需要按照法律规定，从第二个月开始支付双倍工资。
   • 劳动者拒绝签署：然而，如果劳动者以各种理由拒绝签署书面劳动合同，用人单位在这种情况下则无须承担双倍工资支付义务。这需要用人单位能够提供充分的证据来证明是劳动者拒绝签署。

3. 证据要求：

   • 无论是用人单位还是劳动者，在主张自己的权益时，都需要提供充分的证据来支持。例如，用人单位需要提供证明其已尽到签订劳动合同义务的证据，如通知劳动者签订合同的记录、劳动者拒绝签署的书面证明等；而劳动者则需要提供证明存在事实劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资发放记录等。

4. 法律建议：

   • 对于用人单位而言，建议尽快与员工签署劳动合同，以避免可能的法律风险和经济损失。
   • 对于劳动者而言，如果用人单位未与其签署劳动合同，应及时咨询专业律师，了解自己的权益，并在必要时采取法律手段维护自己的合法权益。

综上所述，私人雇主未与员工签署劳动合同并不一定需要赔偿第二个月双倍工资，具体取决于用人单位是否存在过错以及劳动者是否能提供充分的证据来证明自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。