关于您提出的“第三次签劳动合同是否需要书面申请签永久合同”的问题，这实际上涉及到的是无固定期限劳动合同的签订条件及流程。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律规定与核心条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，在特定条件下，劳动者与用人单位第三次签订劳动合同时，应当订立无固定期限劳动合同（即通常所说的“永久合同”）。这些条件包括：
连续订立二次固定期限劳动合同：即您已经与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，且这两次合同之间没有间断或间断不影响“连续”的认定。
劳动者无违规情形：在签订前两次固定期限劳动合同期间，您没有出现《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度）和第四十条第一项、第二项（如医疗期满不能胜任工作）规定的情形。
劳动者提出或同意续订：您需要表达出续订劳动合同的意愿，或者至少不拒绝续订。
未主动提出订立固定期限合同：在满足前三个条件后，如果您没有明确提出要订立固定期限劳动合同，那么用人单位就应当与您订立无固定期限劳动合同。
二、是否需要书面申请
法律未明确规定书面申请：法律并没有明确规定劳动者在第三次签订劳动合同时必须提出书面申请来签订无固定期限劳动合同。但是，为了确保您的权益得到保障，建议您以书面形式向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的请求。这样，一旦发生争议，您就有书面证据来证明自己的主张。
用人单位的义务：在符合签订无固定期限劳动合同的条件时，用人单位有义务依法与您签订无固定期限劳动合同，不得拒绝或拖延。如果用人单位拒绝，您有权通过法律途径维护自己的权益。
三、实际操作建议
提前沟通：在第二次固定期限劳动合同即将到期前，您可以与用人单位进行沟通，表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
书面申请：为了确保权益，建议您以书面形式向用人单位提交签订无固定期限劳动合同的申请，并保留好相关证据。
了解权益：在签订合同前，您可以进一步了解无固定期限劳动合同的相关权益和义务，确保自己做出明智的选择。
寻求法律帮助：如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同或存在其他违法行为，您可以寻求法律帮助，通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。
综上所述，第三次签订劳动合同时，您并不必然需要书面申请签订无固定期限劳动合同，但为了确保自己的权益得到保障，建议您以书面形式提出请求。同时，您也需要了解相关法律规定和条件，确保自己符合签订无固定期限劳动合同的要求。