结论：第二次劳动合同期满后，并非必须签订第三次合同，但用人单位若不续签或降低条件导致员工不续签，需支付经济补偿；若员工要求续签无固定期限合同且符合条件，用人单位拒绝则需支付赔偿金。
具体分析如下：
1. 法律未强制要求签订第三次合同，但赋予员工选择权
根据《劳动合同法》第14条，连续订立两次固定期限劳动合同后，员工有权在第二次合同期满时要求签订无固定期限劳动合同（即“长期合同”），但需满足以下条件：
- 员工已连续工作满10年；或
- 用人单位初次实行劳动合同制度或国企改制时，员工已连续工作满10年且距法定退休年龄不足10年；或
- 连续订立两次固定期限合同，且员工无《劳动合同法》第39条（如严重违纪）和第40条第1、2项（如医疗期满不能工作、不能胜任工作）情形。
若员工主动要求签订无固定期限合同，用人单位必须签订；若员工未提出，用人单位可选择续签固定期限合同或不续签。
2. 用人单位不续签或降低条件导致不续签的后果
- 经济补偿：若用人单位不续签，或降低原合同条件（如降薪、调岗）导致员工不续签，需按员工工作年限支付经济补偿（每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算，不满6个月支付半个月工资）。
- 例外：若用人单位维持或提高原合同条件，员工仍拒绝续签，则无需支付补偿。
3. 员工要求续签无固定期限合同，用人单位拒绝的后果
若员工符合签订无固定期限合同的条件（如连续两次固定期限合同后无过错），且明确要求续签，但用人单位拒绝：
- 违法终止合同：用人单位需支付赔偿金（经济补偿的2倍）。
- 员工可主张权利：通过劳动仲裁或诉讼要求继续履行合同或索赔。
实务建议
- 对员工：若希望稳定就业，可在第二次合同期满前向用人单位书面提出签订无固定期限合同的要求，并保留证据（如邮件、签字文件）。
- 对用人单位：若不想续签，需在合同期满前书面通知员工终止合同，并依法支付补偿；若想续签，需明确合同类型（固定期限或无固定期限），避免违法终止风险。
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