连续续签三次劳动合同后，并非必须签订无固定期限劳动合同，但满足一定条件时，劳动者有权提出签订无固定期限劳动合同。以下是对这一问题的详细分析：
法律依据与条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件时，劳动者在第三次续签劳动合同时有权提出签订无固定期限劳动合同：
连续订立二次固定期限劳动合同：这意味着劳动者已经与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，且中间没有间断。
劳动者无过失性辞退情形：劳动者不存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度等过失性辞退情形，以及第四十条第一项（因病或非因工负伤不能胜任工作）和第二项（不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任）规定的情形。
劳动者提出或无反对意见：在续签劳动合同时，劳动者提出续订劳动合同或者同意续订劳动合同，并且没有主动提出要订立固定期限劳动合同。
例外情况与处理
劳动者选择权：即使满足了上述条件，如果劳动者主动提出订立固定期限劳动合同，这是其对自身权益的合法处分，用人单位可以尊重劳动者的意愿，与之订立固定期限劳动合同。
用人单位的法律责任：如果用人单位在劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件时，违法不与劳动者签订无固定期限劳动合同，那么用人单位需要承担相应的法律责任，如支付双倍工资等。
实际操作建议
了解法律规定：用人单位和劳动者在续签劳动合同时，应充分了解《劳动合同法》的相关规定，确保合同的签订既符合法律规定，又符合双方的利益和需求。
协商一致：尽管法律规定了签订无固定期限劳动合同的条件，但双方仍可在协商一致的基础上选择签订固定期限劳动合同。如果劳动者在续签时明确提出要订立固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。
保留证据：在续签劳动合同时，建议双方保留好相关证据，如劳动合同、续签协议等，以便在发生争议时能够证明自己的权益。
示例说明
假设劳动者小张与用人单位已经连续签订了两次固定期限劳动合同，且小张在工作中没有出现任何过失性辞退情形。在第三次续签劳动合同时，如果小张提出签订无固定期限劳动合同，且用人单位没有提出异议，那么双方应当签订无固定期限劳动合同。如果小张主动提出签订固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。
综上所述，连续续签三次劳动合同后并非必须签订无固定期限劳动合同，但满足一定条件时劳动者有权提出签订。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。