结论：公司不能仅以员工精神有问题为由，在第一次合同到期后不续签第二次合同，除非该员工的精神问题确实无法胜任工作且经过法定程序确认。
分析：
合同到期不续签的法定条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位有权选择是否续签。但这一选择并非无限制的，用人单位不能随意以不合理的理由拒绝续签。
- 如果员工的精神问题并未影响其正常履行工作职责，或者该问题并未达到无法胜任工作的程度，那么公司以此为由不续签合同可能构成违法解除劳动合同。
员工精神问题的认定与处理：
- 员工的精神问题需要经过专业的医疗鉴定或评估，以确定其是否确实无法胜任工作。
- 如果员工的精神问题确实严重到无法胜任工作，公司应当按照法定程序进行处理，如调整工作岗位、提供必要的医疗支持等，而不是直接选择不续签合同。
- 在处理员工精神问题时，公司应当遵循人性化、合法化的原则，尊重员工的权益，避免歧视和不当处理。
不续签合同的法律后果：
- 如果公司未经法定程序，仅以员工精神有问题为由不续签合同，可能面临违法解除劳动合同的法律责任。
- 员工有权要求公司支付经济补偿金或赔偿金，具体数额根据劳动合同法的相关规定和实际情况确定。
- 此外，公司还可能面临劳动行政部门的处罚和声誉损失等不利后果。
建议：
- 对于公司：在决定是否续签合同时，应当综合考虑员工的工作表现、能力、健康状况等因素，确保决策的合法性和合理性。如果员工确实存在精神问题且无法胜任工作，公司应当按照法定程序进行处理，如与员工协商调整工作岗位、提供医疗支持等，或者依法解除劳动合同并支付相应的经济补偿。
- 对于员工：如果认为公司的不续签决定不合理或违法，可以与公司进行沟通协商，要求公司说明理由并提供相关证据。如果协商无果，可以向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
额外提醒：在处理此类问题时，公司应当注重证据的收集和保存，如员工的医疗鉴定报告、工作表现评估等，以便在需要时提供有力的证据支持自己的决策。同时，员工也应当保留好与公司的沟通记录、合同等相关证据，以备不时之需。
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