结论：员工在一个公司工作，前后签了两次合同，第三次公司不续签的，公司通常需要支付经济补偿。具体分析如下：

一、法律背景与规定

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。这意味着，在大多数情况下，如果劳动合同到期而公司不续签，公司需要向员工支付经济补偿。

二、经济补偿的计算

经济补偿的计算通常基于员工在公司的工作年限和月工资。具体来说：

1. 工作年限：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 月工资：指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

计算公式：

• 经济补偿 = 工作年限 × 月工资
• （若月工资高于三倍职工月平均工资）经济补偿 = min(工作年限 × 3 × 职工月平均工资, 12 × 3 × 职工月平均工资)

三、特殊情况分析

1. 公司维持或提高条件续签，员工拒绝：如果公司提出维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而员工不同意续订的，公司不需要支付经济补偿。

2. 员工主动提出不续签：如果员工主动提出不续签劳动合同，公司同样不需要支付经济补偿。但需要注意的是，如果员工是因为公司存在违法行为（如未按时支付劳动报酬、未提供劳动条件等）而提出不续签的，公司仍需支付经济补偿。

3. 合同到期但存在法定续延情形：在某些特殊情况下，如员工患病或者非因工负伤在规定的医疗期内、女职工在孕期产期哺乳期等，劳动合同即使到期也应续延至相应的情形消失时终止。在这些情况下，如果公司不续签劳动合同，同样需要支付经济补偿。

四、建议与行动

1. 与公司协商：如果公司不续签劳动合同，员工可以首先尝试与公司协商，要求公司支付经济补偿。

2. 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付经济补偿。在申请劳动仲裁时，员工需要提供相关的证据材料，如劳动合同、工资单、工作证明等。

3. 寻求法律援助：如果员工对劳动仲裁结果不满意或者认为自己的权益受到了侵害，还可以寻求法律援助或者向法院提起诉讼。

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