当您面临劳动合同到期而单位既不续签也不愿意支付补偿金的情况时，您可以按照以下步骤来与单位沟通并维护自己的合法权益：
一、明确法律规定与自身权益
首先，您需要了解《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据该法第四十六条第五项，除非用人单位维持或提高原有条件而劳动者拒绝续订，否则劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准是按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、与公司进行沟通协商
直接沟通：
- 您可以首先尝试与公司的人力资源部门或直接上级进行面对面的沟通。
- 在沟通时，明确指出根据法律规定，您有权获得经济补偿，并要求公司按规定支付。
- 保留好相关的聊天记录、邮件或会议记录等作为证据，以备后续需要。
书面通知：
- 如果口头沟通无果，您可以向公司发送一份书面通知。
- 在通知中，详细说明您的工作情况、劳动合同到期未续签的事实，以及根据法律规定您应获得的经济补偿金额。
- 要求公司在一定期限内（如一周或两周）支付经济补偿，并通过邮寄方式送达，同时保存好邮寄凭证。
三、采取进一步行动
向劳动监察部门投诉：
- 若与公司协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉。
- 准备好劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等相关证据材料。
- 填写投诉登记表，详细描述投诉事项和诉求。劳动监察部门将调查核实，如发现公司存在违法行为，将责令其限期改正。
申请劳动仲裁：
- 如果对劳动监察部门的处理结果不满意，或者公司仍拒绝支付补偿金，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 提交仲裁申请书，并按被申请人人数提交副本。申请书需载明您和用人单位的基本信息、仲裁请求、事实和理由、证据及来源等。
- 劳动争议仲裁委员会受理申请后，将在规定时间内开庭审理。您需要提供充分证据支持自己的主张，仲裁庭将根据双方证据和陈述进行裁决。
向法院起诉：
- 如对仲裁裁决不服，除法律另有规定外，您可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 向有管辖权的人民法院提交起诉状和相关证据，法院受理后将安排开庭审理。
- 积极配合法院工作，按时参加庭审、提供证据、进行辩论。法院将根据事实和法律作出判决。
四、保持冷静与寻求专业帮助
在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。不要因为情绪激动而做出过激的行为或言论。同时，咨询专业的律师或法律援助机构可以获取更具体的法律建议和帮助，确保您的权益得到充分保障。
通过以上步骤，您可以逐步维护自己在劳动合同到期不续签情况下获得经济补偿的合法权益。记得在每个阶段都要收集和保存好相关证据，以便更好地支持自己的主张。