结论：劳动合同到期一个月后，用人单位不能随时终止劳动关系，需根据具体情况处理，否则可能面临法律风险。以下从不同角度详细分析：

一、劳动合同到期的法律后果

1. 合同效力延续：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法实践，若劳动合同到期后，双方未明确续签或终止，且员工继续在原岗位工作、单位未提出异议的，劳动关系可能因事实用工继续存在，视为原劳动合同条件延续。这意味着，合同到期并不自动赋予用人单位随时终止劳动关系的权利。

2. 终止的法定限制：用人单位终止劳动关系必须符合《劳动合同法》规定的终止情形，如劳动者退休、死亡等。在劳动合同到期但员工继续工作的情况下，用人单位不得随意解除劳动关系。

二、用人单位的处理方式及要求

1. 协商续签：

   • 用人单位应提前与劳动者沟通续签事宜，协商一致后签订新的劳动合同。这是避免法律风险、维护劳动关系稳定的最佳方式。

2. 合法终止：

   • 若用人单位决定不续签劳动合同，须满足以下条件：
     • 支付经济补偿金：根据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意，否则在劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资。
     • 提前通知：用人单位应提前30日以书面形式通知劳动者终止事宜，或额外支付一个月工资作为代通知金。
     • 完成离职手续：双方应依法办理离职手续，包括工作交接、薪资结算、社保关系转移等，并出具离职证明。

3. 违法终止的后果：

   • 若用人单位未履行上述程序直接终止劳动关系，属于违法行为。劳动者有权主张双倍经济补偿金差额或要求恢复劳动关系，并可能因此引发劳动纠纷，给用人单位带来不必要的法律风险和经济损失。

三、特殊情形的处理规则

1. 无固定期限合同转换：

   • 根据《劳动合同法》第十四条，连续两次固定期限劳动合同到期后，若劳动者提出或同意续订、订立无固定期限劳动合同，用人单位必须同意。此时，用人单位不得随意终止劳动关系。

2. 事实劳动关系的认定：

   • 劳动合同到期未续签但继续用工超过1个月的，视为建立新的事实劳动关系。用人单位需承担相应责任，如支付双倍工资等。因此，用人单位应及时与劳动者续签书面劳动合同，以避免法律风险。

四、法律建议

1. 加强劳动合同管理：

   • 用人单位应建立健全劳动合同管理制度，确保劳动合同的签订、续签、终止等环节符合法律规定。在劳动合同到期前，及时与劳动者沟通续签事宜，避免因疏忽或拖延而引发法律风险。

2. 注重证据保存：

   • 为防范未来纠纷，用人单位应妥善保存与劳动合同终止相关的所有证据，如合同文本、离职证明、薪资结算单、书面通知等。这些证据在劳动纠纷中具有重要作用，能够证明用人单位的合法行为和劳动者的权益。

3. 及时咨询专业律师：

   • 在处理劳动合同到期等复杂劳动法律问题时，用人单位应及时咨询专业律师的意见。律师能够根据具体情况提供针对性的法律建议和解决方案，帮助用人单位避免法律风险、维护合法权益。

总结：劳动合同到期一个月后，用人单位不能随时终止劳动关系。用人单位应根据具体情况选择协商续签或合法终止，并履行相应的法律义务和程序。同时，用人单位应加强劳动合同管理、注重证据保存，并在必要时及时咨询专业律师的意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。