核心结论：即使没有签合同、没有打卡记录，只要能够证明与私人工厂存在事实劳动关系，且受伤符合工伤认定条件，依然可以要求工厂按照工伤标准进行赔偿。具体赔偿项目和标准需根据伤情鉴定结果确定。以下是详细分析：
1. 如何证明存在事实劳动关系？
虽然未签合同、没有打卡记录，但可通过以下证据证明与工厂存在劳动关系：
- 工资支付凭证：如银行转账记录、微信/支付宝转账记录（需备注工资或能证明是工资）；
- 工作证、工服、工具等：能证明在工厂工作的物品；
- 工友证言：同事的书面或录音证言，证明你在工厂工作；
- 工作记录：如工作照片、视频、工作群聊天记录等；
- 其他证据：如工厂负责人承认劳动关系的录音、短信等。
法律依据：根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），即使没有书面合同，只要符合“用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分”这三个条件，即可认定存在事实劳动关系。
2. 如何申请工伤认定？
- 申请主体：受伤职工本人或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日起1年内，向工厂所在地社会保险行政部门提出工伤认定申请；
- 所需材料：工伤认定申请表、劳动关系证明材料（如上述证据）、医疗诊断证明等；
- 认定结果：社会保险行政部门会调查核实，并出具《认定工伤决定书》或《不予认定工伤决定书》。
关键点：即使工厂不配合，只要证据充分，依然可以申请工伤认定。如果工厂否认劳动关系，需先通过劳动仲裁确认劳动关系，再申请工伤认定。
3. 赔偿项目和标准
如果被认定为工伤，可享受以下赔偿（具体金额需根据伤情鉴定结果确定）：
- 医疗费：符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的费用；
- 停工留薪期工资：原工资福利待遇不变，由工厂按月支付；
- 护理费：根据生活不能自理程度，由工厂或工伤保险基金支付；
- 一次性伤残补助金：根据伤残等级（1-10级）支付，标准为本人工资的7-27个月；
- 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：离职时由工伤保险基金和工厂分别支付，具体标准因地而异；
- 其他费用：如住院伙食补助费、交通费、辅助器具费等。
特别说明：如果工厂未缴纳工伤保险，所有赔偿均由工厂承担。
4. 如果工厂拒绝赔偿怎么办？
- 协商：可先与工厂协商赔偿事宜；
- 投诉：向当地劳动监察大队投诉；
- 仲裁/诉讼：申请劳动仲裁或向法院起诉，要求工厂支付赔偿。
5. 建议行动步骤
- 尽快收集能证明劳动关系的证据；
- 及时申请工伤认定；
- 根据伤情进行劳动能力鉴定；
- 与工厂协商赔偿，协商不成则通过法律途径解决。
总结：没有合同和打卡记录不影响工伤认定和赔偿，关键在于证明劳动关系和受伤事实。建议尽快行动，避免超过工伤认定申请时效。如果有进一步问题，可以直接向我咨询。