针对您在单位工作六年后不续签合同的情况，以下是我为您提供的详细解答和建议：
一、法律后果与责任分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，若用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么将视为双方已订立无固定期限劳动合同。同时，用人单位还需向劳动者支付每月二倍的工资，这一支付期限从用工满一个月的次日开始计算，直至补订合同前一日，但最长不会超过十一个月。因此，尽管您与单位之间未签订书面合同，但实际上已形成了事实上的劳动关系，且单位应依法承担相应的责任。
二、维权措施建议
收集证据：
- 工资支付记录（如银行流水）、考勤记录、工作证、服务证等，这些都能直接证明您与单位之间的劳动关系。
- 与同事的聊天记录、邮件往来、工作安排文件等，这些辅助证据也能进一步巩固您的劳动关系证明。
- 如果单位曾承认过与您的劳动关系（如书面通知、录音等），这些将作为直接证据，对您的维权非常有利。
与企业协商：
- 您可以主动向单位提出补签劳动合同的要求，并同时主张未签合同期间的双倍工资差额。
- 如果单位拒绝您的要求，您可以要求其说明理由，并保留好所有的沟通记录，这些将作为后续维权的重要依据。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，主张双倍工资差额及确认无固定期限劳动合同关系。
- 需要注意的是，双倍工资差额的诉求受仲裁时效限制，通常需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出，因此建议您尽早行动。
提起诉讼：
- 如果您对仲裁结果不满意，可以在收到裁决书后十五日内向法院提起诉讼。
- 在提起诉讼前，您需要准备充分的证据链，以证明劳动关系的存续时间以及单位未履行法定义务的事实。
三、注意事项
- 时效问题：双倍工资差额的诉求受仲裁时效限制，因此建议您尽快采取行动，以免错过维权时机。
- 证据完整性：在维权过程中，证据的完整性至关重要。您需要确保提供的证据能够形成完整的链条，以证明劳动关系及单位的违法事实。
- 法律咨询：如果您对法律程序或维权策略感到困惑，建议您咨询专业律师的意见。他们可以提供更具体、更专业的指导，帮助您提高维权的成功率。
综上所述，虽然您与单位之间未签订书面合同，但您仍然享有法律赋予的权益。通过收集证据、与企业协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径，您可以有效地维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。