核心结论：农民工在要工资的路上突发脑梗，可从工伤认定、民事赔偿、劳动监察与仲裁、社会救助等多个角度来处理后续事宜，以保障农民工的合法权益。以下是具体情况分析：
工伤认定角度
- 认定可能性：根据《工伤保险条例》规定，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的应当认定为工伤。农民工在要工资的路上突发脑梗，若能证明要工资这一行为与工作存在紧密关联，比如是受用人单位指派去催要工资，或者是在合理的上下班途中（若将催要工资视为工作相关事务的延伸）突发疾病，且符合“在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡”这一视同工伤的情形，有可能被认定为工伤。
- 申请流程：用人单位应当在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 认定后的权益：一旦被认定为工伤，农民工可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。如果因脑梗导致伤残，还可以根据伤残等级获得相应的一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金。
民事赔偿角度
- 侵权责任：如果农民工突发脑梗是由于用人单位的过错导致的，比如用人单位长期拖欠工资，给农民工造成巨大的精神压力，进而引发脑梗，用人单位可能需要承担一定的侵权责任。在这种情况下，农民工或其家属可以收集相关证据，如用人单位拖欠工资的证据、因拖欠工资导致精神压力的证据（如与用人单位沟通的记录、证人证言等）以及脑梗与精神压力之间存在因果关系的医学证明等，向法院提起民事诉讼，要求用人单位赔偿医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等损失。
- 公平责任：即使无法证明用人单位存在过错，但根据公平原则，如果用人单位从农民工的工作中获得了利益，而农民工因要工资突发脑梗遭受了重大损失，法院也可能酌情判决用人单位给予一定的补偿。
劳动监察与仲裁角度
- 劳动监察投诉：农民工可以向当地劳动保障监察机构投诉用人单位拖欠工资的行为。劳动保障监察机构会依法对用人单位进行调查处理，责令用人单位限期支付工资。如果用人单位逾期不支付，劳动保障监察机构可以责令用人单位按照应付金额50%以上1倍以下的标准计算，向劳动者加付赔偿金。
- 劳动仲裁申请：农民工也可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付拖欠的工资。在仲裁过程中，农民工需要提供相关证据证明用人单位存在拖欠工资的事实。如果仲裁裁决支持了农民工的请求，用人单位不履行的，农民工可以向人民法院申请强制执行。
社会救助角度
- 医疗救助：如果农民工家庭经济困难，无法承担脑梗的治疗费用，可以向当地民政部门申请医疗救助。民政部门会根据农民工的家庭经济状况和医疗费用支出情况，给予一定的医疗救助资金，帮助其缓解医疗费用压力。
- 临时救助：对于因突发脑梗导致生活陷入困境的农民工家庭，还可以向当地民政部门申请临时救助。临时救助旨在帮助困难群众解决临时性、突发性的生活困难，保障其基本生活。