结论：公司未与员工签订劳动合同且辞退员工，劳动局（现一般指人力资源和社会保障局）会对公司进行相应的处罚，主要包括责令改正、罚款以及可能涉及的双倍工资赔偿等。具体处罚措施会根据实际情况和法律规定来确定。
详细分析：
责令改正：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资，并由劳动行政部门责令改正。这意味着，劳动局会首先要求公司立即与员工补签劳动合同，或者如果员工已被辞退，则要求公司采取其他补救措施。
罚款：
- 在某些情况下，如果公司拒不改正其违法行为，劳动局可能会对公司处以罚款。罚款的具体数额会根据违法行为的严重程度、公司的规模以及当地的相关规定来确定。虽然直接的法律条款可能并未明确规定具体的罚款数额，但劳动局有权根据实际情况进行裁量。
双倍工资赔偿：
- 除了劳动局的行政处罚外，公司还可能面临向员工支付双倍工资的法律责任。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这意味着，如果公司未与员工签订劳动合同且时间超过一个月，员工有权要求公司支付双倍工资作为赔偿。
其他可能的法律后果：
- 如果公司辞退员工的行为违反了劳动合同法的相关规定（如无正当理由辞退、未提前通知等），公司还可能面临向员工支付经济补偿金或赔偿金的责任。经济补偿金的具体数额会根据员工在公司的工作年限、工资水平等因素来确定。
建议与行动：
- 对于员工：如果遭遇此类情况，建议首先与公司协商解决，要求公司补签劳动合同、支付双倍工资以及可能的赔偿金。如果协商无果，可以向当地的劳动局投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 对于公司：建议公司严格遵守劳动合同法的相关规定，及时与员工签订劳动合同，避免不必要的法律风险。如果确实需要辞退员工，也应按照法律规定提前通知并支付相应的经济补偿金。
总结：公司未与员工签订劳动合同且辞退员工的行为是违法的，劳动局会根据实际情况对公司进行相应的处罚。作为员工或公司，都应了解并遵守相关的法律法规，以维护自己的合法权益或避免不必要的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。