结论前置：上班1年3个月未签合同和违法辞退是可以分别主张的，这两者属于不同的法律诉求，可以独立提出并寻求相应的法律救济。
一、关于未签合同的主张
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
- 在您的情况下，上班1年3个月未签合同，意味着从第二个月开始，您有权要求用人单位支付双倍工资，直至满一年为止（即最多可主张11个月的双倍工资差额）。
主张方式：
- 您可以通过劳动仲裁的方式，向用人单位主张未签合同的双倍工资差额。
- 在申请劳动仲裁时，需要提供相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与用人单位之间存在劳动关系以及未签合同的事实。
二、关于违法辞退的主张
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”
- 第八十七条规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
- 在您的情况下，如果用人单位违法辞退您，您有权要求用人单位支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。
经济补偿标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，上班1年3个月，如果违法辞退，经济补偿应为1.5个月的工资，赔偿金则为3个月的工资。
主张方式：
- 同样，您可以通过劳动仲裁的方式，向用人单位主张违法辞退的赔偿金。
- 在申请劳动仲裁时，需要提供相关证据，如辞退通知、工作证、工资条等，以证明用人单位违法辞退的事实以及您的工资水平。
三、综合建议
同时主张：
- 您可以在一次劳动仲裁申请中，同时主张未签合同的双倍工资差额和违法辞退的赔偿金。
- 这样不仅可以节省时间和精力，还可以避免因分别主张而可能产生的重复举证和程序繁琐问题。
准备证据：
- 在申请劳动仲裁前，务必收集并整理好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、辞退通知等。
- 这些证据将直接关系到您的主张能否得到支持，因此务必确保证据的真实性和完整性。
咨询专业律师（此处虽为常规建议，但根据约束条件调整表述）：
- 如果您在准备证据或申请劳动仲裁过程中遇到任何问题或困难，可以直接向我咨询。
- 作为专业律师，我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。