结论：入职15天没签劳动合同被辞退，您可能面临两种情况，一是公司违法解除劳动合同，二是公司未签劳动合同但解除行为合法（不过这种情况较为少见，且公司仍需承担未签劳动合同的责任）。下面我将从这两个角度为您详细分析。
一、公司违法解除劳动合同
法律依据：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，且违法解除劳动合同的，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。
赔偿计算：
- 在您的情况下，由于入职仅15天，若公司违法解除劳动合同，您有权要求公司支付半个月工资作为赔偿金（因为工作不满六个月，赔偿金为半个月工资）。同时，由于公司未与您签订书面劳动合同，您还有权要求公司支付从入职次日起至解除劳动合同之日止的双倍工资差额（但实际操作中，由于入职时间较短，这部分差额可能不大，且需考虑仲裁或诉讼的成本）。
- 计算公式：赔偿金 = 半个月工资；双倍工资差额 = （月工资 / 30天）* 实际工作天数（若主张此部分，需根据具体情况计算）。
建议行动：
- 收集证据：包括工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与公司之间的劳动关系及工作时长。
- 协商解决：尝试与公司协商，要求公司支付赔偿金及可能的双倍工资差额。
- 申请仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
二、公司未签劳动合同但解除行为合法（较少见）
情况说明：
- 尽管公司未与您签订书面劳动合同，但如果公司能够证明解除劳动合同的行为是合法的（如您存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作等情形），则公司可能不需要支付赔偿金。但即便如此，公司仍需承担未签劳动合同的法律责任。
法律责任：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。在您的情况下，由于入职仅15天，虽未满一个月，但公司仍应尽快与您补签劳动合同，以避免后续法律风险。若公司未补签且您继续工作至满一个月后，您有权要求公司支付双倍工资。
建议行动：
- 即便公司解除行为合法，您仍可与公司沟通，要求公司尽快补签劳动合同或支付未签劳动合同期间的双倍工资差额（若已工作满一个月）。
- 若公司拒绝，您可考虑在继续工作的同时，收集相关证据，以备未来可能出现的劳动争议。
总结与提醒：
- 在处理此类劳动纠纷时，证据的收集至关重要。请务必保留好与工作相关的所有证据，以便在需要时证明自己的权益。
- 若您对公司的解除行为或未签劳动合同的情况有疑问，或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议。