结论：您这种情况属于在未签订劳动合同的情况下因工受伤，您有权要求私人老板承担相应的赔偿责任，可通过收集证据、协商、申请工伤认定、提起劳动仲裁或诉讼等途径来维护自身权益。以下是详细说明：

证据收集

虽然未签订劳动合同，但只要能证明您与老板之间存在事实劳动关系以及受伤是在工作过程中发生的，就可以主张权益。您可以收集以下证据：

1. 工资支付记录：如银行转账记录、微信或支付宝转账记录等，上面最好能备注是工资，这能证明老板向您支付了劳动报酬。
2. 工作证、服务证等：如果有老板发放的能证明您身份的工作证件，要妥善保存。
3. 考勤记录：像打卡记录、工作排班表等，能体现您的工作时间和出勤情况。
4. 同事证言：如果有一起工作的同事愿意为您作证，证明您是在为老板开车过程中受伤的，他们的证言也是重要证据。
5. 工作相关的聊天记录、通话录音：例如与老板沟通工作安排、受伤情况汇报等内容的聊天记录或通话录音。
6. 医疗记录：包括病历、诊断证明、检查报告、医疗费发票等，这些能证明您受伤的事实以及治疗所花费的费用。

与老板协商

在收集好证据后，您可以先尝试与老板进行友好协商，明确告知老板您是在工作过程中受伤，根据法律规定他应该承担相应的赔偿责任，如支付医疗费、误工费、护理费等。在协商过程中，要保持冷静和理性，明确提出自己的合理诉求，并记录好协商的过程和结果。如果老板愿意协商解决并达成一致意见，最好签订一份书面协议，明确双方的权利和义务以及赔偿金额、支付方式等，以避免后续出现纠纷。

申请工伤认定

根据《工伤保险条例》及相关规定，即使没有签订劳动合同，只要存在事实劳动关系，在工作过程中受伤也应认定为工伤。但由于您未签订劳动合同，可能需要先确认劳动关系。您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认您与老板之间存在事实劳动关系。在确认劳动关系后，您可以在受伤之日起1年内向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等材料。

劳动仲裁或诉讼

如果与老板协商不成，或者老板拒绝承担赔偿责任，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁申请中，您可以要求老板支付医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、残疾辅助器具费等因工伤产生的费用，如果构成伤残，还可以要求支付一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。