结论：劳动合同超期之后申请离职，是否可以提起赔偿，需根据具体情况来判断，主要包括劳动合同是否自动延续、用人单位是否存在过错以及是否给劳动者造成损害等因素。以下从不同角度进行详细分析：

1. 劳动合同自动延续的情况：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，如果劳动者仍在原用人单位工作，且用人单位未表示异议的，，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，即劳动合同自动延续。在这种情况下，如果劳动者申请离职，一般不能直接提起赔偿，因为双方仍在按照原合同条件履行。
   • 例外情况：如果用人单位在劳动合同超期后，未按照法律规定与劳动者续签书面劳动合同，且超过一定期限（通常为一个月），劳动者有权要求用人单位支付未签书面劳动合同的双倍工资差额。但这并不属于离职赔偿，而是对用人单位未签书面劳动合同的惩罚性赔偿。

2. 用人单位存在过错的情况：

   • 如果劳动合同超期后，用人单位存在未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为的，劳动者有权解除劳动合同，并可以要求用人单位支付经济补偿。经济补偿的计算方式通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 具体案例：假设劳动者在用人单位工作了3年，劳动合同超期后，用人单位未及时支付劳动报酬，劳动者因此申请离职。在这种情况下，劳动者有权要求用人单位支付3个月工资的经济补偿。

3. 劳动者主动离职且无过错的情况：

   • 如果劳动合同超期后，劳动者主动提出离职，且离职原因并非用人单位的过错（如个人发展、家庭原因等），则劳动者一般不能要求用人单位支付赔偿或经济补偿。因为这种情况下，离职是劳动者自愿的选择，用人单位并未违反法律规定或合同约定。

4. 特殊情形下的赔偿请求：

   • 如果劳动合同超期后，用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动，或者用人单位违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全的，劳动者可以立即解除劳动合同，不需事先告知用人单位，并有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的计算方式通常比经济补偿更高，具体根据实际情况和法律规定来确定。

建议与提醒：

• 在劳动合同超期后申请离职前，建议劳动者先与用人单位沟通，了解双方对劳动合同延续或终止的态度和意见。
• 如果用人单位存在违法行为或过错，劳动者应保留好相关证据（如工资条、社保缴纳记录、工作证明等），以便在申请离职或提起赔偿时使用。
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