结论前置：以不签合同为由提出离职，在一定条件下确实可以申请赔偿，具体取决于劳动关系的存续时间以及用人单位是否存在其他违法行为。
一、未签订劳动合同的双倍工资差额赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿计算：
- 赔偿周期从用工满一个月的次日起至离职之日止，最多不超过11个月。例如，若劳动者在单位工作了8个月且未签订劳动合同，则可主张7个月的双倍工资差额赔偿（第一个月为合理协商期，不计入双倍赔偿范围）。
实例说明：
- 假设劳动者A于2023年1月1日入职某公司，但直至2023年8月31日离职时仍未签订劳动合同。那么，A有权要求公司支付从2023年2月1日至2023年8月31日共7个月的双倍工资差额。
二、经济补偿金（若用人单位存在过错）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条和第四十六条，若用人单位存在未依法缴纳社会保险费、未及时足额支付劳动报酬等法定过错情形，劳动者以此为由提出离职的，用人单位应向劳动者支付经济补偿金。
补偿标准：
- 经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
实例说明：
- 假设劳动者B在某公司工作了2年3个月，且公司存在未依法缴纳社会保险费的情形。B以此为由提出离职，那么公司应向B支付2.5个月工资的经济补偿金。
三、申请赔偿的注意事项
保留相关证据：
- 劳动者需妥善保留工资发放记录、工作凭证、社保缴纳记录等，以证明与用人单位的劳动关系及用人单位的违法事实，为申请赔偿提供有力依据。
提前通知用人单位：
- 尽管未签订劳动合同，但劳动者在离职时仍需按照《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条的规定，提前三十日以书面形式通知用人单位（试用期内提前三日通知）。
了解仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应在离职后一年内及时提起仲裁申请，以避免因超过时效而丧失胜诉权。
四、不能申请赔偿的情况
- 若用人单位不存在上述过错，且双方未签订书面劳动合同的期限在一个月以内，劳动者仅因个人原因（如职业发展规划调整、家庭原因等）自愿辞职，则劳动者一般不能向用人单位主张赔偿或经济补偿。
五、特殊情况：入职满一年未签订劳动合同
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为双方已订立无固定期限劳动合同。同时，按照《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条第二款，用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。但这种情况下的赔偿计算较为复杂，且通常与双倍工资差额赔偿存在重叠，需根据具体情况判断。
总结与建议：以不签合同为由提出离职能否申请赔偿，需综合考虑多个因素。劳动者在维护自身权益时，应充分了解相关法律法规，保留好相关证据，并遵循合法的程序进行申诉。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。