结论：员工发生工伤后，原则上应向劳务派遣公司主张赔偿，但若餐饮店存在过错，也可能需承担连带赔偿责任。以下从不同角度详细分析：
一、劳务派遣关系下的工伤赔偿主体
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条：“劳务派遣单位是本法所称用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。劳务派遣单位与被派遣劳动者订立的劳动合同，除应当载明本法第十七条规定的事项外，还应当载明被派遣劳动者的用工单位以及派遣期限、工作岗位等情况。”
在劳务派遣关系中，劳务派遣公司是员工的用人单位，与员工存在劳动关系，因此，员工发生工伤后，原则上应由劳务派遣公司承担工伤保险责任，包括支付工伤医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
二、餐饮店可能承担的责任
虽然劳务派遣公司是主要的赔偿主体，但根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条：“用工单位给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。”
如果餐饮店在用工过程中存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等，导致员工发生工伤，那么餐饮店可能需要与劳务派遣公司承担连带赔偿责任。这意味着员工可以选择向劳务派遣公司或餐饮店中的任何一方主张全部赔偿，也可以同时向两者主张。
三、实际操作建议
及时申请工伤认定：员工发生工伤后，应尽快向劳务派遣公司报告，并由劳务派遣公司或员工本人（在劳务派遣公司不申请的情况下）向当地社会保险行政部门申请工伤认定。
收集证据：员工应收集与工伤相关的证据，如医疗记录、工作证明、事故现场照片等，以便在后续赔偿过程中证明自己的权益。
协商或诉讼：在工伤认定后，员工可以与劳务派遣公司和餐饮店进行协商，要求赔偿。如果协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼。
四、特殊情况说明
如果劳务派遣公司未依法为员工缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条：“依照本条例规定应当参加工伤保险而未参加工伤保险的用人单位职工发生工伤的，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。”此时，员工应直接向劳务派遣公司主张全部工伤赔偿。
总结与建议：员工在发生工伤后，应首先向劳务派遣公司主张赔偿。同时，关注餐饮店是否存在过错，以便在必要时要求其承担连带赔偿责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。