结论：公司没有劳动合同和社保，在员工工伤后没有申请工伤程序，这一系列行为均属于违法行为。以下从不同方面为你详细阐述：

未签订劳动合同

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

也就是说，公司自用工之日起就应当与员工签订书面劳动合同，若未签订，从第二个月起就要承担支付双倍工资的法律责任。这是为了保障劳动者的权益，明确双方的权利和义务，避免出现纠纷时双方责任不清的情况。

未缴纳社保

依据《中华人民共和国社会保险法》第五十八条规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。

社保包含了养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险等，对于员工来说至关重要。公司为员工缴纳社保是法定义务，不缴纳社保不仅损害了员工享受社会保障的权利，还可能面临社会保险费征收机构的处罚，如加收滞纳金、罚款等。

工伤后未申请工伤程序

当员工发生工伤事故后，公司有义务在规定时间内（一般为事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内）向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

如果公司未在规定时间内申请工伤认定，在此期间发生符合本条例规定的工伤待遇等有关费用由该用人单位负担。而且，员工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。一旦被认定为工伤，公司需要承担相应的工伤赔偿责任，包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。

建议：如果遇到这种情况，员工可以先与公司协商，要求公司补签劳动合同、补缴社保并申请工伤认定和承担相应的工伤赔偿责任。如果协商不成，可以向劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律途径维护自己的合法权益。如果你还有其他疑问，欢迎继续向我咨询。