结论：在公司受工伤后，没有申请劳动仲裁，直接提起提供劳务受损害纠纷诉讼，在特定情况下是合法的，但并非所有情况都适用，需根据具体情况来判断。

分析说明：

1. 工伤认定与劳动仲裁的关系：

   • 通常情况下，员工在公司受伤后，应首先进行工伤认定。工伤认定是享受工伤保险待遇的前提，也是后续可能进行的劳动仲裁或诉讼的基础。
   • 如果员工对工伤认定结果有异议，或者公司未按规定申请工伤认定，员工可以向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

2. 提供劳务受损害纠纷的适用性：

   • 提供劳务受损害纠纷通常指的是个人与个人之间，或者个人与未依法登记领取营业执照的个体工商户之间，因提供劳务而发生的损害赔偿纠纷。
   • 在公司受工伤的情况下，员工与公司之间通常构成劳动关系，而非劳务关系。因此，一般情况下，员工应通过劳动仲裁或工伤保险途径来维护自己的权益。
   • 然而，如果存在特殊情况，如公司未依法注册登记、员工与公司之间未签订劳动合同且公司否认劳动关系、或者员工受伤时处于非正常工作状态（如实习、兼职等）且未纳入工伤保险范围等，此时员工可能无法直接通过劳动仲裁或工伤保险途径获得赔偿。在这种情况下，员工可以考虑提起提供劳务受损害纠纷诉讼。

3. 法律程序的选择：

   • 如果员工选择提起提供劳务受损害纠纷诉讼，需要准备充分的证据来证明自己与公司之间存在劳务关系、自己是在提供劳务过程中受伤、以及公司应承担赔偿责任等事实。
   • 同时，员工也需要注意诉讼时效的问题，确保在法定的诉讼时效期间内提起诉讼。

行动建议：

• 首先尝试工伤认定和劳动仲裁：如果员工在公司受伤，且符合工伤认定的条件，建议首先尝试进行工伤认定，并依据认定结果向劳动仲裁机构申请劳动仲裁。
• 考虑特殊情况下的诉讼途径：如果存在上述特殊情况，导致员工无法通过劳动仲裁或工伤保险途径获得赔偿，员工可以考虑提起提供劳务受损害纠纷诉讼。
• 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，由于涉及法律程序和证据准备等复杂问题，建议员工咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分维护。

最终提醒：每个案件的具体情况都有所不同，因此员工在处理此类纠纷时，应根据自己的实际情况和法律规定来选择合适的法律程序。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。