结论：劳务公司和包工头签订劳务协议后工人受伤，劳务公司是否有责任需根据具体情况判断，主要分为劳动关系和劳务关系两种情形。
一、劳动关系情形
若工人与劳务公司之间构成劳动关系，即工人受劳务公司管理、由劳务公司支付工资，并签订了劳动合同或存在事实劳动关系，则劳务公司作为用人单位，需承担以下责任：
工伤保险责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳务公司有义务为工人缴纳工伤保险。若工人受伤，劳务公司应在事故伤害发生之日起30日内向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若劳务公司未依法缴纳工伤保险，则需按工伤保险待遇项目和标准支付费用。
协助工伤认定：劳务公司需协助工伤认定的调查核实工作，提供必要的证明材料。
赔偿与补偿：根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，工人将享受相应的工伤保险待遇。若劳务公司已缴纳工伤保险费，则由工伤保险基金支付；若未缴纳，则由劳务公司全额支付。
二、劳务关系情形
若工人与劳务公司之间构成劳务关系，即工人为包工头提供劳务，劳务公司仅作为中介或支付劳务费用的主体，则双方的责任根据各自过错程度来确定：
劳务公司责任：若劳务公司在提供工作条件或安全保障措施方面存在过错，如未提供必要的安全防护设备、未进行安全培训等，导致工人受伤，劳务公司需承担相应的赔偿责任。
包工头责任：包工头作为实际接受劳务的一方，若其在接受劳务过程中存在过错，如未提供安全的工作环境、未采取必要的安全措施等，导致工人受伤，包工头也需承担相应的赔偿责任。
连带责任：在特定情况下，如劳务公司与包工头之间存在共同过错或故意串通损害工人利益，劳务公司可能与包工头承担连带赔偿责任。
三、处理流程与建议
及时救治：无论何种情况，一旦工人受伤，应立即送往医院进行救治，确保工人的生命安全和身体健康。
工伤认定与劳动能力鉴定：若构成劳动关系，劳务公司应及时申请工伤认定，并在工人伤情稳定后进行劳动能力鉴定，以确定工伤赔偿标准。
保留证据：工人和劳务公司均应妥善保留与工伤事故相关的所有证据材料，如医疗记录、工作证明、安全培训记录等，以便后续处理。
法律咨询：在处理此类纠纷时，建议根据具体情况向我咨询，以获取更具体的法律建议和指导。
总结：劳务公司和包工头签订劳务协议后工人受伤，劳务公司是否有责任需根据具体情况判断。在劳动关系情形下，劳务公司作为用人单位需承担工伤保险责任；在劳务关系情形下，双方责任根据各自过错程度来确定。无论哪种情况，及时救治、保留证据并寻求法律咨询都是维护自身权益的关键。