核心结论：事业单位职工在家摔伤不能正常上班，主要涉及工伤认定、病假与医疗期、工资待遇以及劳动关系处理这几个方面的问题，以下为你详细阐述。

1. 工伤认定方面
   • 一般情况：根据《工伤保险条例》规定，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的等情形应当认定为工伤。自己在家摔伤，通常不属于在工作场所因工作原因受伤，一般难以被认定为工伤。但如果存在特殊情况，比如职工是在执行单位安排的工作任务，例如在家加班处理工作文件时摔伤，且能提供充分证据证明是因工作原因，那么有可能被认定为工伤。一旦被认定为工伤，就可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资等。
   • 申请流程：如果职工认为自己符合工伤认定条件，应在规定时间内（一般为事故伤害发生之日起30日内，由用人单位提出申请；用人单位未按规定提出的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日起1年内，可以直接提出申请）向单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等材料。
2. 病假与医疗期方面
   • 病假申请：职工因摔伤需要暂停工作接受治疗，可向单位申请病假。需要提供医院的诊断证明、病历等相关医疗文件，以证明自己确实需要休息治疗。单位一般会根据职工的病情和医院的建议，批准相应的病假。
   • 医疗期规定：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。例如，实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月。在医疗期内，单位不得随意解除劳动合同。
3. 工资待遇方面
   • 病假工资：在病假期间，职工有权获得一定的工资待遇。根据相关规定，职工疾病或非因工负伤连续休假在6个月以内的，企业应按下列标准支付疾病休假工资：连续工龄不满2年的，按本人工资的60%计发；连续工龄满2年不满4年的，按本人工资70%计发；连续工龄满4年不满6年的，按本人工资的80%计发；连续工龄满6年不满8年的，按本人工资的90%计发；连续工龄满8年及以上的，按本人工资的100%计发。
   • 医疗期工资：如果职工医疗期超过6个月，病假工资或疾病救济费支付标准为：连续工龄不满1年的，按本人工资的40%计发；连续工龄满1年不满3年的，按本人工资的50%计发；连续工龄满3年及以上的，按本人工资的60%计发。但本人工资不得低于当地最低工资标准的80%。
4. 劳动关系处理方面
   • 医疗期满后：如果医疗期满后，职工仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位提前三十日以书面形式通知职工本人或者额外支付职工一个月工资后，可以解除劳动合同。但用人单位需要按照职工在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向职工支付经济补偿。
   • 协商解决：在处理劳动关系过程中，职工和单位可以通过协商的方式解决相关问题，例如协商调整工作岗位、协商解除劳动合同等。协商一致后，应签订书面协议，明确双方的权利和义务。

建议：职工在家摔伤后，应及时就医并保留好相关医疗文件；与单位保持沟通，按照单位的要求申请病假和提供相关材料；如果对工伤认定、工资待遇等问题有疑问或与单位发生争议，可以向当地劳动保障部门咨询或申请劳动仲裁。如果你还有其他关于事业单位职工劳动权益方面的问题，欢迎随时向我咨询。