当员工在劳务派遣关系中因病死亡时，用工单位和劳务派遣单位的责任承担是一个涉及多方面法律因素的复杂问题。以下是对此问题的详细解答：
一、责任承担的基本原则
首先，需要明确的是，劳务派遣单位作为劳动关系中的用人单位，承担着主要的法律责任。同时，用工单位作为实际使用劳动者的单位，也可能因特定情况而承担一定的责任。在员工因病死亡的情况下，责任承担需综合考虑工伤保险的覆盖情况、用工单位和派遣单位的过错程度以及双方之间的约定。
二、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 如果劳务派遣单位已为员工缴纳了工伤保险，且员工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡或在48小时内经抢救无效死亡，那么这种情况将视同工伤。此时，主要的赔偿责任将由工伤保险基金承担，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
- 若劳务派遣单位未为员工缴纳工伤保险，则所有应由工伤保险基金支付的费用均需由劳务派遣单位自行承担。
非因工死亡情形：
- 如果员工非因工死亡，且未参加工伤保险或工伤保险不足以覆盖全部损失，劳务派遣单位仍需按照国家规定给予丧葬补助费、抚恤金等非因工死亡待遇。
三、用工单位的责任
过错责任：
- 用工单位虽不是劳动关系中的用人单位，但如果员工的死亡是由于其过错导致，例如提供的工作环境存在严重安全隐患，或者未按照法律规定提供必要的劳动保护条件等，那么用工单位可能需要承担相应的侵权赔偿责任或与劳务派遣单位共同承担工伤赔偿责任。
协助义务：
- 在员工死亡事件的处理过程中，用工单位有义务配合劳务派遣单位进行调查，提供相关证据，如事故现场的监控录像、证人证言等，以便准确查明事故原因和责任划分。
四、双方约定责任
劳务派遣单位和用工单位通常会在劳务派遣协议中对员工工伤、伤亡等情况的责任分担进行约定。这种约定在不违反法律法规强制性规定的情况下，对双方具有约束力。然而，需要注意的是，这种约定不能对抗劳动者或其家属的法定权利主张。即使协议中有关于责任分担的约定，劳动者或其家属仍有权向任何一方或双方主张权利。劳务派遣单位在依法承担责任后，可依据协议向用工单位进行追偿。
五、实际操作建议
及时申请工伤认定：
- 家属在遭遇此类事件时，应首先申请工伤认定，以确定责任主体和赔偿范围。这是维护自身权益的重要步骤。
咨询专业律师：
- 由于此类问题涉及复杂的法律关系和赔偿项目，建议家属咨询专业律师或法律机构，以便更准确地理解法律规定，明确责任划分，并有效地维护自身权益。
准备充分证据：
- 如果需要提起诉讼来维护自己的权益，家属一定要准备好充分的证据材料，包括劳动合同、医疗记录、死亡证明等，以便在诉讼过程中证明自己的主张。
综上所述，当员工在劳务派遣关系中因病死亡时，用工单位和劳务派遣单位的责任承担需综合考虑多个方面。家属应及时与相关方沟通并寻求法律援助，以确保自己的合法权益得到妥善处理。