结论：连续签订六次固定期限劳动合同后，公司能否解除劳动合同，需根据具体情况和法律规定来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

1. 劳动者提出或同意续订劳动合同，且符合续订无固定期限劳动合同条件

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一规定在连续签订六次固定期限劳动合同的情况下同样适用，即只要劳动者符合条件并提出续订，就应当订立无固定期限劳动合同。
   • 公司义务：在此情况下，如果劳动者提出续订劳动合同，公司一般不能拒绝，需与劳动者订立无固定期限劳动合同。若公司拒绝并解除劳动合同，则构成违法解除，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿的计算公式为：经济补偿=工作年限×月工资（工作年限满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。例如，劳动者在公司连续工作了六年，月工资为10000元，则经济补偿为6×10000=60000元，违法解除的赔偿金则为60000×2=120000元。
   • 实例说明：如小张在某公司连续签订了六次固定期限劳动合同，且表现良好，无违规情况，第六次合同到期前表示愿意继续工作，则公司应与其订立无固定期限劳动合同，不得无故解除。

2. 存在法定解除情形

   • 劳动者过错：若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反规章制度、失职造成重大损害、被追究刑事责任等情形，公司可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。例如，劳动者因严重违反公司规章制度被开除，公司无需支付任何经济补偿。
   • 劳动者不能胜任工作：若劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作，或经培训调整岗位后仍不能胜任，公司提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同。此时，公司需支付经济补偿，计算公式同上。

3. 双方协商一致解除

   • 法律允许：即使连续签订了六次固定期限劳动合同，公司与劳动者仍可通过协商一致的方式解除劳动合同。
   • 经济补偿：在这种情况下，公司需按照劳动者的工作年限支付经济补偿，以体现对劳动者权益的保障。经济补偿的计算公式同样为：经济补偿=工作年限×月工资。

4. 合同自然终止

   • 提前通知：如果双方或一方在合同到期前明确表示不愿续签，且未出现上述法定解除或协商解除的情形，那么合同将在到期时自然终止，无需额外支付经济补偿（除非有特别约定）。但需注意，如果公司未提前通知劳动者合同到期不再续签，可能面临一定的法律风险，如被要求支付代通知金等。

总结与建议：

连续签订六次固定期限劳动合同后，公司能否解除劳动合同取决于多种因素。作为劳动者，应了解自身权益，特别是在符合续订无固定期限劳动合同条件时，应积极主张自己的权利。作为公司，应严格遵守相关法律法规，确保在处理劳动合同解除事宜时合法合规，避免不必要的法律风险。如果双方在劳动合同解除问题上存在争议，建议通过协商、调解或仲裁等方式解决，以维护双方的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。