公司不可以随意不续签劳动合同，但能否续签以及续签何种类型的合同，需视具体情况而定。以下是对此问题的详细分析：
一、无固定期限劳动合同的签订条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在满足特定条件时，有权要求或同意续订、订立无固定期限劳动合同。这些条件包括：
连续工作满十年：若劳动者在同一用人单位连续工作满十年，且双方同意续延劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。但您的情况是连续工作六年，尚未达到这一标准。
连续签订两次固定期限劳动合同：若劳动者已经与用人单位连续签订了两次固定期限劳动合同，并且在合同期间内没有出现用人单位可以解除劳动合同的法定情形（如严重违反单位规章制度、不能胜任工作等），那么在续订劳动合同时，劳动者提出或者同意续订、订立无固定期限劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。若您已满足此条件，则有权要求签订无固定期限劳动合同。
用工满一年未签书面合同：若用人单位自用工之日起满一年未与劳动者签订书面劳动合同的，视为双方已订立无固定期限劳动合同。但这一情形与您的情况不符。
二、工作六年的情况分析
对于您已经在公司连续工作六年的情况：
若未满足签订无固定期限劳动合同的条件：即您尚未与用人单位连续签订两次固定期限劳动合同，或者虽已签订但存在用人单位可以解除劳动合同的法定情形，那么公司有权选择不续签劳动合同，或者续签固定期限劳动合同。但公司若选择不续签，需依法向您支付经济补偿。
若满足签订无固定期限劳动合同的条件：即您已与用人单位连续签订两次固定期限劳动合同，且没有出现可以被解除劳动合同的法定情形，那么在下次续订劳动合同时，您可以提出签订无固定期限劳动合同的要求。若公司拒绝，则可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。
三、经济补偿与法律责任
经济补偿：若公司选择不续签劳动合同，或者虽续签但降低原劳动合同约定的条件导致您不续签的，公司需依法向您支付经济补偿。经济补偿的计算标准为：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
法律责任：若公司违法解除劳动合同（如拒绝签订无固定期限劳动合同而您满足签订条件），则需承担相应的法律责任，包括支付赔偿金等。
四、建议与行动
收集证据：建议您收集和保留能证明自己工作年限、劳动合同签订情况等相关证据，以备不时之需。
与公司协商：在劳动合同到期前，您可以与公司进行协商，看是否能达成续签劳动合同的共识。若公司拒绝续签或提出不合理的续签条件，您可以依法维护自己的权益。
寻求法律帮助：若您对劳动合同的签订或履行有任何疑问或争议，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。