在行政处罚告知下达后，审核发现案件事实不成立的，应当立即撤销原行政处罚告知，并终止相关行政处罚程序。具体分析如下：

1. 程序合法性要求：

   • 根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，行政机关在作出行政处罚决定前，必须确保案件事实清楚、证据确凿。若审核阶段发现案件事实不成立，即意味着原行政处罚告知所依据的事实基础已不存在，继续推进程序将违反法定程序要求。
   • 行政机关有义务及时纠正错误的行政行为，以保障当事人的合法权益，维护行政执法的公正性和权威性。

2. 具体操作步骤：

   • 撤销原告知：行政机关应制作书面决定，明确撤销原行政处罚告知，并说明撤销理由（即案件事实不成立）。
   • 通知当事人：将撤销决定及时送达当事人，并告知其相关权利（如申请复议或提起诉讼的权利）。
   • 终止程序：在撤销原告知后，行政机关应正式终止该行政处罚程序，并归档相关材料。
   • 后续处理：若案件事实不成立是由于证据不足或调查不彻底导致的，行政机关可重新开展调查，收集充分证据后，再决定是否重新启动行政处罚程序。但需注意，重新启动程序必须严格遵守法定时限和程序要求。

3. 注意事项：

   • 及时性：行政机关一旦发现案件事实不成立，应立即采取行动，避免拖延导致当事人权益受损或程序违法。
   • 证据保存：在撤销原告知和终止程序前，行政机关应妥善保存相关证据材料，以备后续可能的复议、诉讼或重新调查之需。
   • 当事人沟通：在处理过程中，行政机关应保持与当事人的良好沟通，及时告知处理进展和结果，以增强执法透明度和公信力。

4. 法律后果：

   • 若行政机关未依法撤销原行政处罚告知并终止程序，而是继续推进并作出行政处罚决定，该决定可能因事实不清、证据不足而被复议机关或人民法院撤销或变更。
   • 行政机关及其工作人员还可能因违法行使职权而承担相应的法律责任，包括行政责任甚至刑事责任。

建议：在实际操作中，行政机关应建立健全内部审核机制，确保在作出行政处罚决定前对案件事实进行充分审查。若发现案件事实不成立，应严格按照法定程序进行处理，以维护行政执法的合法性和公正性。如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。