未签署协议不给退款是否违法，需分情况讨论：

1. 若双方存在事实上的合同关系或交易行为，且商家有退款义务但未签署书面退款协议

   • 在这种情况下，即使没有签署书面的退款协议，如果双方之间存在事实上的合同关系或交易行为，且根据交易习惯、行业惯例或相关法律法规，商家有退款义务（例如，商品存在质量问题、服务未达到约定标准等），那么商家拒绝退款可能构成违约行为。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同可以是书面形式、口头形式或者其他形式。只要双方之间存在合意，且内容不违反法律、行政法规的强制性规定，合同即成立并有效。因此，即使没有书面协议，商家仍需履行其退款义务。
   • 建议措施：消费者可以收集相关证据（如交易记录、聊天记录、商品照片等），通过协商、向消费者权益保护机构投诉或向法院提起民事诉讼等途径，要求商家履行退款义务，并承担相应的违约责任。

2. 若双方未就退款事宜达成任何形式的合意，且商家无退款义务

   • 如果双方之间不存在事实上的合同关系或交易行为，或者即使存在交易行为但商家无退款义务（例如，消费者因个人原因要求退款，但商家已明确告知不退换货政策），且双方未就退款事宜达成任何形式的合意（包括口头或书面），那么商家拒绝退款可能不构成违法行为。
   • 法律依据：在没有合同关系或商家无退款义务的情况下，商家有权拒绝消费者的退款要求。这是基于合同自由原则和公平交易原则的合理体现。
   • 建议措施：在这种情况下，消费者应尊重商家的政策，并尝试通过其他途径解决问题（如与商家协商、寻求第三方调解等）。如果消费者认为商家的行为侵犯了其合法权益，可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议。

额外提醒：

• 为了避免类似纠纷的发生，建议消费者在购买商品或接受服务前，仔细阅读并了解商家的退款政策、交易条款等相关信息。
• 在交易过程中，尽量与商家签订书面合同或协议，并明确约定双方的权利和义务，以便在发生纠纷时能够有据可查。
• 如果遇到商家拒绝退款的情况，消费者应保持冷静，收集相关证据，并通过合法途径维护自己的权益。

总结：未签署协议不给退款是否违法，取决于双方之间是否存在事实上的合同关系或交易行为，以及商家是否有退款义务。在存在合同关系且商家有退款义务的情况下，商家拒绝退款可能构成违约行为；在不存在合同关系或商家无退款义务的情况下，商家拒绝退款则可能不构成违法行为。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。