结论：在此情况下，政府扶持的公司是否承担责任，需根据具体情况判断，主要涉及未签劳动合同的劳动关系认定及下班途中交通事故的工伤认定两大方面。以下为详细分析：
一、未签劳动合同与劳动关系认定
事实劳动关系：
- 尽管员工未与公司签订书面劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，若员工实际为公司提供了劳动，且公司接受了该劳动并支付了报酬，双方即构成事实劳动关系。
- 在此情况下，公司应承担作为用人单位的法定义务，包括但不限于为员工缴纳社会保险、提供劳动保护等。
未签合同的法律后果：
- 公司未与员工签订书面劳动合同，违反了《劳动合同法》的强制性规定，应承担相应的法律责任，如支付双倍工资差额等。
- 但此法律责任与员工下班后发生交通事故的赔偿责任是分开的，公司不会因未签合同而直接承担交通事故的全部责任。
二、下班途中交通事故与工伤认定
工伤认定条件：
- 根据《工伤保险条例》及相关规定，员工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应认定为工伤。
- 在此情况下，员工下班后过马路被车撞死，若符合“非本人主要责任”的条件，且事故发生在上下班途中，则应认定为工伤。
公司责任：
- 若员工被认定为工伤，公司作为用人单位，应承担工伤保险责任，包括支付工伤医疗费用、伤残津贴、一次性工亡补助金等。
- 若公司未为员工缴纳工伤保险，则公司需自行承担上述全部费用。
三、综合分析与建议
劳动关系确认：
- 公司应首先确认与员工之间是否存在事实劳动关系，可通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据进行证明。
- 若存在事实劳动关系，公司应尽快与员工家属协商处理后续事宜，包括工伤认定申请、赔偿协商等。
工伤认定申请：
- 公司或员工家属应在事故发生后及时向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提供相关证据材料。
- 社会保险行政部门将根据事实和法律规定进行工伤认定，并出具工伤认定决定书。
赔偿协商与诉讼：
- 在工伤认定决定书出具后，公司应与员工家属就赔偿事宜进行协商，达成赔偿协议。
- 若协商不成，员工家属可依法向人民法院提起诉讼，要求公司承担相应的赔偿责任。
最后，政府扶持的公司在此情况下是否承担责任，需根据具体情况判断。若员工与公司构成事实劳动关系，且下班途中发生非本人主要责任的交通事故，则公司应承担工伤保险责任。如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。