结论前置：合同到期后，若双方未签订新合同但继续履行，将形成事实上的合同关系或视为不定期合同（针对特定类型合同），双方应明确各自权利义务，并尽快通过书面形式续签合同以规避法律风险。以下从不同角度详细分析：
一、法律关系的认定
事实合同关系的形成：
- 合同到期后，双方虽未书面续签，但继续按原合同履行义务，即形成事实合同关系，视为对原合同的延续。例如，甲乙两公司货物供应合同到期后，仍按原约定继续交易，即构成事实合同关系。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第四百六十四条，合同是民事主体之间设立、变更、终止民事法律关系的协议。合同到期后继续履行，可视为双方默示地延续了原合同关系。
不定期合同的产生（特定合同类型）：
- 对于租赁合同等特定类型合同，租赁期满后承租人继续使用租赁物且出租人无异议的，原租赁合同转为不定期租赁。例如，小张租住小李房屋，合同到期后继续居住并交租，即形成不定期租赁合同关系。
- 法律依据：虽然直接的法律条文未明确提及“不定期合同”的形成，但根据《中华人民共和国民法典》第七百三十四条关于租赁合同的规定，可以合理推断出在特定条件下，原租赁合同可转为不定期租赁。
劳动合同的特殊规定：
- 劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作且用人单位未提出异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但此时，用人单位需支付双倍工资作为惩罚性赔偿（若未及时续签书面劳动合同）。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作的，用人单位应当与劳动者续订书面劳动合同。若未续订，则用人单位需承担相应法律责任。
二、双方的权利和义务
基本权利义务的延续：
- 在事实合同或不定期合同中，除期限外，原合同的其他条款继续有效。例如，货物供应合同中的质量标准、检验方式等条款仍具约束力。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百一十条，合同生效后，当事人就质量、价款或者报酬、履行地点等内容没有约定或者约定不明确的，可以协议补充；不能达成补充协议的，按照合同相关条款或者交易习惯确定。在事实合同或不定期合同中，原合同的相关条款可视为双方对权利义务的默认约定。
任意解除权（针对不定期合同）：
- 不定期合同中，双方享有任意解除权，但需提前合理通知对方。例如，在不定期租赁合同中，房东需提前通知租客以便其寻找新住所。
- 法律依据：虽然直接的法律条文未明确提及“任意解除权”，但根据《中华人民共和国民法典》关于合同解除的一般规定，以及租赁合同等特定类型合同的特殊规定，可以合理推断出在不定期合同中，双方享有在一定条件下的任意解除权。
劳动者的特殊保护：
- 劳动者在未续签期间享有与正式员工相同的权益，包括工资、福利等。若用人单位解除劳动关系，需依法支付经济补偿金或赔偿金。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者解除劳动关系的，需依法支付经济补偿金或赔偿金。在未续签劳动合同的情况下，若用人单位解除劳动关系，同样需承担相应法律责任。
三、存在的法律风险及应对建议
合同不确定性风险：
- 缺乏书面续签导致合同内容和期限不明确，易引发纠纷。例如，事实合同履行中一方要求变更条款而另一方不同意，可能产生争议。
- 应对建议：为避免法律风险，双方应在合同到期前协商续签事宜，并签订书面合同明确条款和期限。若确实无法及时签订书面续约协议，也应确保双方的实际履行行为符合原合同的约定，并及时沟通解决可能出现的任何问题。
法律适用风险：
- 法律关系认定争议可能影响法律适用和案件处理结果。例如，事实合同与原合同在法律问题上的适用差异可能导致权益受损。
- 应对建议：在发生争议时，双方应首先尝试友好协商，并保留相关证据以备后续可能的法律诉讼。若协商无果，可寻求专业法律帮助以明确法律关系和适用法律。
经济补偿风险（针对劳动合同）：
- 用人单位未续签或降低条件续订而劳动者不同意时，需支付经济补偿金。
- 应对建议：用人单位应遵守《中华人民共和国劳动合同法》等法律法规，保障劳动者合法权益。在无法续签或需降低条件续订时，应与劳动者充分沟通并协商解决方案，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。
综上所述，合同到期后未签订新合同但继续履行时，双方应明确法律关系、权利义务及潜在风险，并及时采取措施续签或协商解决争议。若您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。