结论前置：合同到期后，若双方未明确表示不继续履行且实际上仍在按原合同约定进行履行，或双方以实际行为默示延续了合同关系，且该继续履行行为不违反法律法规的强制性规定，则合同可以继续履行，其法律效力主要源于《中华人民共和国民法典》的相关规定。以下是对此问题的详细分析：

一、合同继续履行的法律基础

1. 《民法典》第四百六十四条：合同是民事主体之间设立、变更、终止民事法律关系的协议。合同到期后，如双方虽未续签书面合同，但以实际行为表明继续履行原合同内容，可视为双方默示地延续了原合同关系。例如，租赁合同到期后，承租人继续使用租赁物并支付租金，出租人未提出异议，则原租赁合同继续有效，但租赁期限变为不定期。

2. 《民法典》第五百五十七条：规定了债权债务终止的几种情形，包括债务已经履行、债务相互抵销等，但并未排除在其他情形下合同继续存在的可能性。若合同没有这些终止情形，且双方有意愿继续履行，合同关系可继续存在。

二、继续履行的责任与义务

1. 《民法典》第五百七十七条：当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。此条款明确了在合同到期后，若符合继续履行的条件，违约方应承担继续履行的责任。

2. 实际履行中的注意事项：在合同到期后继续履行的情况下，双方应确保继续履行的行为符合原合同的约定，并及时沟通解决可能出现的任何问题。若一方发现对方继续履行的行为与原合同不符，应及时提出异议并协商解决，以避免可能的纠纷。

三、合同内容的补充确定

1. 《民法典》第五百一十条：合同生效后，对于质量、价款或报酬、履行地点等内容没有约定或约定不明确的，可以协议补充；不能达成补充协议的，按照合同相关条款或交易习惯确定。这一规定适用于合同到期后继续履行时，对于某些履行细节未明确的情况。例如，若原合同未明确约定继续履行期间的租金标准，双方可协商补充约定或按照市场租金水平确定。

2. 实际履行中的证据保留：在合同到期后继续履行的情况下，双方应保留好相关证据，如支付凭证、收货单、沟通记录等，以证明双方的实际履行行为及合同内容。这些证据在后续可能出现的纠纷中将起到关键作用。

四、实际履行合同成立情形

1. 《民法典》第四百九十条：当事人采用合同书形式订立合同的，自当事人均签名、盖章或者按指印时合同成立。在签名、盖章或者按指印之前，当事人一方已经履行主要义务，对方接受时，该合同成立。法律、行政法规规定或者当事人约定合同应当采用书面形式订立，当事人未采用书面形式但是一方已经履行主要义务，对方接受时，该合同成立。此条款为合同到期后双方虽未续签书面合同，但实际履行并被接受的情况提供了法律依据。

2. 实际履行与书面合同的效力：虽然实际履行行为可以成立合同关系，但为了保障双方的权益和避免可能的纠纷，建议双方在合同到期后及时续签书面合同或签订补充协议，明确继续履行的条件、期限、责任等事项。

五、司法实践与案例参考

最高人民法院发布的相关司法解释及大量司法案例均对合同到期后继续履行的情况进行了规范和确认。只要双方继续履行合同的行为不违反法律法规的强制性规定，并符合民事法律行为有效的一般要件（如行为人具有相应的民事行为能力、意思表示真实、不违反法律和社会公共利益等），法院通常会认可这种继续履行行为的法律效力。

实际操作建议：为避免可能的纠纷和风险，建议合同双方在合同到期前或到期后，通过书面方式明确续约的意愿、条件和具体细节。若确实无法及时签订书面续约协议，也应确保双方的实际履行行为符合原合同的约定，并及时沟通解决可能出现的任何问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。