结论前置：合同履行到期后，双方没有签订新合同但继续履行原合同内容的，在符合一定条件下，可以视为合同的延续，其法律依据主要源于《中华人民共和国民法典》的相关规定。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系的认定
事实合同关系的形成：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同到期后，双方虽未书面续签，但继续按原合同履行义务的，即形成事实合同关系，视为对原合同的延续。例如，甲乙两公司之间的货物供应合同到期后，双方仍按原约定继续交易，即构成事实合同关系。
不定期合同的产生（特定合同类型）：
- 对于租赁合同等特定类型的合同，租赁期满后，承租人继续使用租赁物且出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但租赁期限为不定期。如小张租住小李的房屋，合同到期后小张继续居住并按时交纳租金，小李未提出异议，即形成不定期租赁合同关系。
二、双方的权利和义务
基本权利义务的延续：
- 在事实合同或不定期合同中，除期限外，原合同的其他条款继续有效，双方应继续履行原合同约定的权利和义务。例如，货物供应合同中的质量标准、检验方式、付款方式等条款仍对双方具有约束力。
任意解除权（针对不定期合同）：
- 对于不定期合同，双方均享有任意解除权，但需提前合理通知对方。如不定期租赁合同中，房东或租客若想解除合同，需提前通知对方，以便对方有足够的时间寻找新的租赁物或租客。
三、存在的法律风险
合同不确定性风险：
- 缺乏书面续签合同可能导致合同内容和期限不明确，从而引发纠纷。例如，在事实合同履行过程中，一方可能要求变更合同条款，而另一方不同意，此时可能因合同内容不明确而产生争议。
法律适用风险：
- 法律关系认定的争议可能影响法律适用和案件处理结果。如事实合同与原合同在法律问题上的适用存在差异，可能导致一方权益受损。
四、应对建议
及时续签书面合同：
- 为避免法律风险，双方应在合同到期前协商续签事宜，并签订书面合同明确条款和期限。无论是企业间的合作合同还是个人之间的租赁合同等，都应及时续签以明确双方的权利和义务。
保留相关证据：
- 在合同到期后继续履行过程中，双方应保留好相关证据，如交易记录、付款凭证、沟通记录等，以备后续可能的法律诉讼或争议解决。
协商解决争议：
- 若发生争议，双方应首先尝试友好协商解决，并明确争议焦点和解决方案。若协商无果，可寻求法律途径解决争议。
遵守法律规定：
- 双方在继续履行合同过程中应遵守相关法律法规的规定，确保合同内容的合法性和有效性。如租赁合同应遵守《中华人民共和国民法典》中关于租赁合同的相关规定。
示例说明：假设甲乙两公司签订了一份为期一年的货物供应合同，合同到期后双方未续签书面合同，但甲公司仍继续向乙公司供应货物，乙公司也继续接受货物并支付货款。此时，甲乙两公司之间即形成了事实合同关系，双方应继续履行原合同约定的权利和义务。若因货物质量、价格等问题产生争议，双方应首先尝试友好协商解决；若协商无果，可依据相关法律法规和合同条款寻求法律途径解决争议。
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