结论前置：延迟退休背景下，单位不续签劳动合同是否合法，需根据具体情况判断。以下分情况详细说明：

1. 若员工已达到法定退休年龄，且单位依法为员工办理了退休手续：

   • 在此情况下，劳动合同自然终止，单位无需续签劳动合同，这是合法的。因为根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。延迟退休政策并不改变这一基本原则，只是推迟了享受基本养老保险待遇的年龄。

2. 若员工虽达到延迟退休后的年龄，但尚未享受基本养老保险待遇，且单位不续签劳动合同：

   • 这种情况下，单位的做法可能涉嫌违法。因为根据《劳动合同法》的规定，劳动合同期满，劳动者仍在用人单位工作的，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。若单位在员工未享受基本养老保险待遇的情况下，单方面不续签劳动合同，可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。
   • 具体法律责任：根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准则根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

3. 若双方劳动合同中有特别约定，如约定在特定年龄或条件下劳动合同终止：

   • 在这种情况下，需要依据劳动合同的具体约定来判断单位不续签是否合法。如果劳动合同中的约定不违反法律法规的强制性规定，且双方均同意并签署了该合同，那么单位在约定条件成就时不续签劳动合同，可能是合法的。

建议与提醒：

• 对于员工而言，若遇到单位在延迟退休背景下不续签劳动合同的情况，首先应查看自己的劳动合同及单位的相关规章制度，了解是否有相关约定。同时，也可以咨询当地劳动部门或专业律师，了解自己的权益和可能的维权途径。
• 对于单位而言，在处理延迟退休员工的劳动合同续签问题时，应谨慎对待，确保自己的做法符合法律法规的规定。避免因违法解除或终止劳动合同而承担不必要的法律责任。

后续行动指南：

• 若您作为员工，认为单位不续签劳动合同的做法涉嫌违法，且双方无法协商解决，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
• 若您作为单位，在处理此类问题时存在疑问或不确定，建议咨询专业律师，以确保自己的做法合法合规。

如有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。