结论：在延迟退休期间合同到期公司不续签是否违法，需分情况讨论。若员工已达到法定退休年龄且开始享受基本养老保险待遇，公司不续签不违法；若员工虽延迟退休但未达到法定退休年龄或未享受养老保险待遇，公司不续签则可能违法。
详细分析：
员工已达到法定退休年龄且享受养老保险待遇：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。这意味着，如果员工已经达到了法定退休年龄，并且已经开始享受基本养老保险待遇，那么劳动合同自然终止，公司无需续签，也不构成违法。
员工未达到法定退休年龄或未享受养老保险待遇：
- 如果员工虽然处于延迟退休期间，但实际上并未达到法定退休年龄，或者虽然达到了法定退休年龄但尚未享受基本养老保险待遇，那么公司不续签劳动合同就可能构成违法。
- 在这种情况下，员工仍然享有劳动者的权利，包括要求公司续签劳动合同的权利。如果公司拒绝续签，员工可以通过劳动仲裁等途径维护自己的合法权益。
法律建议：
对于员工：
- 如果您处于延迟退休期间，且合同即将到期，建议您先确认自己是否已经达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇。
- 如果您尚未达到法定退休年龄或未享受养老保险待遇，且希望继续工作，可以与公司协商续签劳动合同。如果公司拒绝续签，您可以考虑通过劳动仲裁等途径维护自己的权益。
对于公司：
- 在决定是否续签劳动合同时，公司应仔细审查员工的年龄和养老保险待遇情况。
- 如果员工已经达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇，公司可以依法终止劳动合同而无需续签。
- 如果员工尚未达到法定退休年龄或未享受养老保险待遇，且员工希望继续工作，公司应考虑与员工协商续签劳动合同，以避免可能的法律纠纷。
可能后果：
- 如果公司违法终止劳动合同，可能需要支付经济补偿金或赔偿金给员工，具体数额根据员工的工龄和工资水平等因素确定。
- 员工也可以通过劳动仲裁或诉讼等途径要求公司继续履行劳动合同或支付相应的赔偿。
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