结论：在劳务派遣关系中，若员工在国企工作十六年后，新的劳务派遣公司提出续签而员工不愿意续签，赔偿金的问题需根据具体情况来判断，一般情况下，若新派遣公司无过错，员工不续签则无赔偿金；若因新派遣公司降低条件导致员工不续签，则新派遣公司需支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣关系的基本法律框架
在劳务派遣关系中，存在三方主体：劳务派遣单位（即用人单位）、用工单位（如国企）和被派遣劳动者（即员工）。劳务派遣单位与被派遣劳动者签订劳动合同，建立劳动关系，并将劳动者派遣至用工单位工作。用工单位则负责提供工作条件、进行日常管理等。
二、劳动合同续签与终止的法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满或者当事人约定的劳动合同终止条件出现，劳动合同即行终止。在劳动合同期满前，用人单位与劳动者可以协商续签劳动合同。若劳动者不同意续签，且用人单位无过错（如未降低劳动合同约定条件），则劳动合同终止，用人单位无需支付经济补偿。
三、员工不愿意续签的具体情况分析
新劳务派遣公司无过错的情况：
- 若新的劳务派遣公司在续签劳动合同时，未降低原劳动合同约定的条件（如工资、福利、工作地点等），且员工因个人原因不愿意续签，则劳动合同终止，新劳务派遣公司无需支付经济补偿。
新劳务派遣公司存在过错的情况：
- 若新的劳务派遣公司在续签劳动合同时，降低了原劳动合同约定的条件（如降低工资、减少福利、改变工作地点等），导致员工不愿意续签，则根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，新劳务派遣公司应当向员工支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常按照员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
四、特殊情况下的考虑
- 原劳务派遣公司与新劳务派遣公司的关系：若原劳务派遣公司与新劳务派遣公司存在关联关系，且员工在原派遣公司的工作年限应连续计算至新派遣公司，那么在计算经济补偿时，应将员工在原派遣公司的工作年限也纳入考虑范围。但这一点的具体应用需根据相关法律法规及司法实践来判断。
- 员工权益的保护：无论何种情况，员工都有权了解自己的权益，并在必要时寻求法律援助。若员工认为自己的权益受到侵害，可以向当地劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
五、建议与行动
- 对于员工：在面临劳动合同续签问题时，应仔细阅读新劳动合同的条款，确保自己的权益不受侵害。若对新劳动合同的条款有疑问或不满，应及时与新劳务派遣公司沟通协商。若协商无果，可以寻求法律援助或提起劳动仲裁。
- 对于新劳务派遣公司：在续签劳动合同时，应确保劳动合同的条款合法合规，且不低于原劳动合同的约定条件。若因公司原因导致员工不愿意续签，应依法支付经济补偿，以避免不必要的法律纠纷。
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