结论：工作5个月27天被公司无理由辞退，您不能同时申请经济补偿和赔偿金，但可以根据具体情况选择主张经济补偿或赔偿金。具体来说，若公司行为构成违法解除劳动合同，您可主张赔偿金；若公司行为不构成违法解除，但符合支付经济补偿的情形，您可主张经济补偿。
法律分析：
经济补偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，工作5个月27天，不满六个月，因此如果公司因非违法原因解除劳动合同，您有权获得半个月工资的经济补偿。
赔偿金：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 如果公司无理由辞退您，且该行为被认定为违法解除劳动合同，那么您有权要求公司支付赔偿金，即一个月工资的两倍（因为您工作不满六个月，经济补偿为半个月工资，赔偿金则为其两倍，但实际操作中，由于工作不满半年，通常按一个月工资作为赔偿金计算基数，具体根据地方实践可能有所不同，但肯定不低于经济补偿的两倍标准，此处为便于理解，按经济补偿两倍直接阐述，即半个月的两倍为一个月工资作为赔偿金表述的核心意思，实际裁决可能直接以一个月工资或更高标准（若月工资高于社平工资三倍等特殊情况）作为赔偿金）。不过更严谨的表述是，赔偿金为经济补偿标准的二倍，您工作5个月27天，经济补偿为半个月工资，赔偿金则为一个月工资（半个月的两倍）。若月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，支付赔偿金的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付赔偿金的年限最高不超过十二年。
情况分类与建议：
若公司行为构成违法解除劳动合同：
- 您应主张赔偿金，即要求公司支付一个月工资的两倍作为赔偿（基于您工作不满六个月，经济补偿为半个月工资，赔偿金为其两倍）。同时，您还可以要求公司支付未提前通知的代通知金（如果公司未提前30日通知您解除劳动合同），但这一要求并非所有情况下都适用，需根据具体情形判断。不过，在违法解除的情况下，主要主张的是赔偿金。
- 行动建议：收集公司违法解除劳动合同的证据，如辞退通知、工作记录、沟通记录等，向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付赔偿金。
若公司行为不构成违法解除，但符合支付经济补偿的情形（如公司因经营困难等原因需要裁员，且已履行相关法定程序）：
- 您应主张经济补偿，即要求公司支付半个月工资作为经济补偿。
- 行动建议：与公司协商经济补偿事宜，若协商不成，可向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付经济补偿。
注意事项：
- 在处理此类纠纷时，务必保留好相关证据，如劳动合同、辞退通知、工资单、工作记录等，以便在仲裁或诉讼过程中证明自己的主张。
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，具有程序简便、成本较低等优点。如果对公司处理结果不满，建议及时申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。
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