当单位不再与您续签劳动合同时，您作为职工，确实可以提出一些合理的要求。以下是根据相关法律法规，您可以考虑的几个方面：
一、经济补偿金
根据《劳动合同法》的相关规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而您不同意续订的情形外，如果单位因自身原因拒绝与您继续签订劳动合同，您有权要求单位支付经济补偿金。经济补偿的标准是按照您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则向您支付半个月工资的经济补偿。如果您的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，那么支付经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，但支付经济补偿的年限最高不超过十二年。这里的月工资指的是您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
二、未续签劳动合同期间的双倍工资
如果劳动合同期满后，您继续在单位工作，但单位超过一个月仍未与您订立书面劳动合同，根据《劳动合同法实施条例》的规定，您有权主张单位每月支付双倍的工资。这一要求旨在保护劳动者的权益，确保用人单位及时与劳动者签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
三、其他可能的权益
除了上述的经济补偿金和双倍工资外，您还可以根据具体情况，考虑提出以下要求：
要求单位出具离职证明：离职证明是您与单位解除劳动关系的重要证明，对于您后续找工作或办理相关手续都非常重要。
要求单位协助办理社保和公积金转移手续：确保您的社保和公积金账户能够顺利转移，避免因单位原因导致您的社保和公积金权益受损。
要求单位结清所有工资和福利：确保单位在您离职前结清所有应发的工资、奖金、津贴等福利待遇。
四、注意事项
在提出这些要求时，建议您注意以下几点：
保留相关证据：如劳动合同、工资单、考勤记录等，这些证据将有助于您在主张权益时提供有力的支持。
与单位协商：在提出要求前，您可以先与单位进行协商，尝试通过友好沟通解决问题。
寻求法律援助：如果协商无果，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以了解更详细的法律建议和维权途径。
综上所述，当单位不再与您续签劳动合同时，您有权提出经济补偿金、未续签劳动合同期间的双倍工资以及其他可能的权益要求。在提出这些要求时，请务必保留相关证据，并与单位进行友好协商。如果协商无果，您可以考虑寻求法律援助来维护自己的合法权益。