在父母和祖母均已死亡，且子女也已死亡的情况下，下一继承人的确定需依据《中华人民共和国民法典》中关于法定继承的规定来分析，具体分为以下几种情况：
若子女死亡时留有直系晚辈血亲（如孙子女、外孙子女）：
- 根据《民法典》第一千一百二十八条的规定，被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。这意味着，如果子女在父母和祖母之前死亡，且留有子女（即被继承人的孙子女、外孙子女），则这些孙子女、外孙子女将代位继承其父母应继承的份额。
若子女死亡时未留有直系晚辈血亲，但存在其他第一顺序继承人（如配偶）：
- 在这种情况下，由于子女已死亡且无直系晚辈血亲代位继承，若子女有配偶存活，且该配偶与子女在婚姻关系存续期间有共同财产，则配偶可能通过分割共同财产获得一部分财产，但这并不属于继承范畴。就继承而言，若子女无直系晚辈血亲，且父母（即被继承人的父母，在此场景下已死亡）也已不在世，则不涉及第一顺序继承人的继承。但需注意，若子女有遗嘱指定其他继承人，则按遗嘱执行。
若子女死亡时未留有直系晚辈血亲，且不存在其他第一顺序继承人：
- 根据《民法典》第一千一百二十七条的规定，当没有第一顺序继承人继承时，由第二顺序继承人继承。第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。但在此场景下，由于父母和祖母均已死亡，若子女无兄弟姐妹，则需考虑其他可能的第二顺序继承人情况（如外祖父母是否在世，但通常外祖父母作为父母一方的父母，在父母已死亡的情况下，若子女也已死亡且无直系晚辈血亲，外祖父母继承的可能性较低，除非特定情况下如子女由外祖父母抚养长大等可能涉及特殊继承情形，但此非通常情况）。在常规情况下，若子女死亡且无直系晚辈血亲、无配偶、无兄弟姐妹，且父母和祖母均已死亡，则可能面临遗产无合适法定继承人的情况，此时遗产可能归国家所有，用于公益事业；若死者生前是集体所有制组织成员的，则归所在集体所有制组织所有。
特殊情形说明：
- 遗嘱继承：若子女在死亡前立有合法有效的遗嘱，指定了继承人，则无论该继承人是否属于法定继承人范围，均按遗嘱执行继承。
- 转继承：若子女在父母或祖母死亡后、遗产分割前死亡，且子女有继承人（如配偶、子女等），则这些继承人可能转继承子女应继承的份额。但此情形与用户问题中的“子女死亡的下一继承人”直接关联性不强，因用户问题聚焦于子女死亡后的直接继承问题。
总结与建议：
- 在处理此类复杂继承问题时，建议首先梳理清楚家庭成员关系及死亡顺序，以确定是否存在代位继承、转继承等特殊情形。
- 若遗产涉及较大金额或复杂财产类型（如房产、股权等），建议咨询专业律师，以确保继承过程的合法性与顺利进行。
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。